📌 Das Wichtigste in einem Satz
Eine Folge ist MONOTON STEIGEND, wenn jedes Glied größer ist als das vorherige (a(n+1)>an für alle n), und MONOTON FALLEND, wenn jedes Glied kleiner ist. Bei einer geometrischen Folge mit q<0 wechseln die Vorzeichen ständig — die Folge ist dann NICHT monoton, egal wie groß |q| ist. Der GRENZWERT beschreibt, wohin die Folge für n→∞ strebt: bei geometrischen Folgen mit |q|<1 geht an gegen 0; bei |q|>1 wächst |an| über alle Grenzen (kein Grenzwert); bei q≤−1 pendelt an zwischen positiven und negativen Werten (auch kein Grenzwert, außer bei |q|<1).
Merkregel: |q|<1 → Grenzwert 0. |q|>1 → kein Grenzwert (wächst unbegrenzt). q<0 → nicht monoton (Vorzeichenwechsel).
Beispiel 1
Für die geometrische Folge a1=8, q=0,5 (also 8, 4, 2, 1, 0,5, ...): ist sie monoton, und wenn ja wie?
8, 4, 2, 1, 0,5, ...
- Monoton FALLEND, denn jedes Glied ist kleiner als das vorherige (0
- Monoton STEIGEND, denn die Glieder werden betragsmäßig immer näher an 0
- Nicht monoton, weil sich die Zahlen stark verändern
So kommst du darauf: Bei 0
Beispiel 2
Für dieselbe Folge a1=8, q=0,5: welchen Grenzwert hat sie für n→∞?
8, 4, 2, 1, 0,5, ... → ?
- 0, denn bei |q|<1 geht an für n→∞ gegen 0
- 8, denn der Grenzwert ist immer gleich a1
- Es gibt keinen Grenzwert, weil die Folge nie genau 0 erreicht
So kommst du darauf: Auch wenn kein Folgenglied JEMALS genau 0 ist, nähert sich an für n→∞ beliebig nah an 0 an — das ist der Grenzwert.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, dass eine Folge mit negativem q NIEMALS monoton sein kann, egal wie klein |q| ist?"
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