📌 Das Wichtigste in einem Satz
Modul 7 im Überblick: Eine Folge ordnet jedem Index n genau einen Wert an zu. Arithmetisch: an=a1+(n−1)·d (konstante Differenz). Geometrisch: an=a1·q^(n−1) (konstanter Quotient). Rekursiv: an=a(n−1)+d (oder ·q) — braucht den vorherigen Wert, schrittweise Berechnung. Monotonie: q<0 ⟹ nie monoton (Vorzeichenwechsel). Grenzwert: |q|<1 ⟹ 0, |q|>1 ⟹ kein Grenzwert.
Bei jeder Aufgabe zuerst fragen: arithmetisch (Differenz) oder geometrisch (Quotient)? Explizit (direkt mit n) oder rekursiv (schrittweise)?
Beispiel 1
Was ist eine Folge?
Folge = ?
- Eine geordnete, unendliche Liste von Zahlen a1, a2, a3, ..., bei der jedem Index n genau ein Wert an zugeordnet ist
- Eine ungeordnete Menge von Zahlen, die Reihenfolge spielt keine Rolle
- Eine Formel, die genau einen einzigen Zahlenwert liefert
So kommst du darauf: Eine Folge ist geordnet — jedem Index n ist genau ein Wert an zugeordnet.
Beispiel 2
Für eine arithmetische Folge mit a1=3, d=4: berechne a5 mit an=a1+(n−1)·d
a1=3, d=4, n=5
- 19, denn a5=3+(5−1)·4=3+16=19
- 23, denn a5=3+5·4=23, mit n statt (n−1) gerechnet
- 7, denn a5=a1+d allein
So kommst du darauf: a5=3+(5−1)·4=3+16=19.
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