📌 Das Wichtigste in einem Satz
Statt bei einer arithmetischen Folge ALLE n Glieder einzeln zu addieren, nutzt man die GAUSS-SUMMENFORMEL: Sn=n·(a1+an)/2. Der Trick: paart man das erste mit dem letzten Glied (a1+an), das zweite mit dem vorletzten (a2+a(n−1)) usw., ergibt jedes Paar dieselbe Summe (a1+an) — es gibt n/2 solcher Paare, daher Sn=n·(a1+an)/2.
Merkregel: Sn=n·(a1+an)/2 — erst an berechnen, dann a1+an bilden, dann mit n multiplizieren, dann durch 2 teilen.
Beispiel 1
Wie lautet die Gauß-Summenformel für eine arithmetische Reihe?
Sn = ?
- Sn=n·(a1+an)/2
- Sn=n·a1/2, ohne an zu berücksichtigen
- Sn=(a1+an)/2, ohne mit n zu multiplizieren
So kommst du darauf: Man paart a1 mit an, multipliziert mit der Anzahl der Paare (n/2), das ergibt n·(a1+an)/2.
Beispiel 2
Für a1=3, d=4, n=5: berechne zuerst a5=a1+(n−1)·d
a1=3, d=4, n=5
- 19, denn a5=3+(5−1)·4=3+16=19
- 23, denn a5=3+5·4=23, mit n statt (n−1) gerechnet
- 7, denn a5=a1+d allein
So kommst du darauf: a5=3+(5−1)·4=3+16=19.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, WARUM das Paaren von erstem und letztem Glied bei jedem Paar dieselbe Summe ergibt?"
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