📌 Das Wichtigste in einem Satz
Für |q|<1 konvergiert die geometrische Reihe: die Partialsummen Sn nähern sich für n→∞ einem festen Wert S∞=a1/(1−q) an — obwohl UNENDLICH VIELE Glieder addiert werden! Der Grund: bei |q|<1 wird q^n für großes n beliebig klein (geht gegen 0), sodass in der Formel Sn=a1·(q^n−1)/(q−1) der Term q^n praktisch verschwindet und nur noch a1·(−1)/(q−1)=a1/(1−q) übrig bleibt.
Merkregel: S∞=a1/(1−q), NUR wenn |q|<1 gilt. Bei |q|≥1 gibt es keine unendliche Summe.
Beispiel 1
Wie lautet die Formel für die unendliche geometrische Reihe, und für welche q gilt sie?
S∞ = ?
- S∞=a1/(1−q), nur für |q|<1
- S∞=a1/(1−q), für jedes beliebige q
- S∞=a1·(q^n−1)/(q−1), genau wie bei der endlichen Reihe
So kommst du darauf: Nur bei |q|<1 konvergiert die Reihe — bei |q|≥1 wächst sie unbegrenzt oder pendelt, es gibt keine endliche Summe.
Beispiel 2
Für a1=8, q=0,5: berechne S∞=a1/(1−q)
a1=8, q=0,5
- 16, denn S∞=8/(1−0,5)=8/0,5=16
- 4, denn S∞=8·0,5=4, Multiplikation statt Division
- 8, denn S∞=a1 allein, ohne die Formel anzuwenden
So kommst du darauf: S∞=8/(1−0,5)=8/0,5=16.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, dass die Formel S∞=a1/(1−q) NUR gilt, wenn |q|<1 ist?"
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