📌 Das Wichtigste in einem Satz
Zahlt man jedes Jahr denselben Betrag R auf ein Sparkonto ein, das jedes Jahr mit dem Zinsfaktor q=1+p/100 verzinst wird, ergibt sich nach n Jahren das Guthaben Kn=R·(q^n−1)/(q−1) — GENAU die geometrische Summenformel aus Lektion 3, nur mit R statt a1! Der Grund: jede einzelne Einzahlung wächst wie ein eigenes geometrisches Folgenglied, und die Summe all dieser wachsenden Einzahlungen ist die geometrische Reihe.
Merkregel: Kn=R·(q^n−1)/(q−1), mit q=1+p/100 — dieselbe Formel wie bei der geometrischen Reihe, R statt a1.
Beispiel 1
Wie berechnet man das Guthaben Kn nach n Jahren, wenn man jedes Jahr den Betrag R einzahlt und der Zinsfaktor q ist?
Kn = ?
- Kn=R·(q^n−1)/(q−1) — dieselbe Formel wie bei der geometrischen Reihe
- Kn=R·n·q, ohne Zinseszins zu berücksichtigen
- Kn=R·q^n, ohne die Summe mehrerer Einzahlungen zu bilden
So kommst du darauf: Jede Einzahlung wächst wie ein geometrisches Folgenglied — die Summe aller Einzahlungen ist die geometrische Reihe.
Beispiel 2
Für R=1000, p=50% (also q=1,5), n=3 Jahre: berechne zuerst q^n=1,5^3
q=1,5, n=3
- 3,375, denn 1,5^3=1,5·1,5·1,5=3,375
- 4,5, denn 1,5·3=4,5, Multiplikation statt Potenz
- 2,25, denn 1,5^2=2,25, mit n−1 statt n gerechnet
So kommst du darauf: 1,5^3=1,5·1,5·1,5=3,375.
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„Weiß ich noch, dass diese Sachaufgaben-Formel genau die geometrische Summenformel ist, nur mit anderen Buchstaben?"
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