📌 Das Wichtigste in einem Satz
Die drei Logarithmusgesetze: (1) Produktregel: log_b(x·y)=log_b(x)+log_b(y) — aus MULTIPLIKATION wird ADDITION. (2) Quotientenregel: log_b(x/y)=log_b(x)−log_b(y) — aus DIVISION wird SUBTRAKTION. (3) Potenzregel: log_b(x^n)=n·log_b(x) — der Exponent wird zum FAKTOR. Diese Regeln machen den Logarithmus so nützlich: sie verwandeln schwierige Rechenoperationen in einfachere.
Merkregel: Produkt→Summe, Quotient→Differenz, Potenz→Faktor.
Beispiel 1
Wie lautet die Produktregel für Logarithmen?
log_b(x·y) = ?
- log_b(x)+log_b(y) — aus Multiplikation wird Addition
- log_b(x)·log_b(y) — die beiden Logarithmen werden multipliziert
- log_b(x+y), die Summe innerhalb des Logarithmus statt außerhalb
So kommst du darauf: Die Produktregel verwandelt eine Multiplikation im Argument in eine Addition der Logarithmen.
Beispiel 2
Für log_2(4)=2 und log_2(8)=3: berechne log_2(4·8)=log_2(32) mit der Produktregel
log_2(4)=2, log_2(8)=3
- 5, denn log_2(32)=log_2(4)+log_2(8)=2+3=5
- 6, denn log_2(4)·log_2(8)=2·3=6, Multiplikation statt Addition
- 32, denn log_2(4·8) wird mit dem Produkt selbst verwechselt
So kommst du darauf: log_2(32)=log_2(4)+log_2(8)=2+3=5 — und tatsächlich ist 2^5=32.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, dass die Produktregel eine SUMME ergibt, nicht ein Produkt der beiden Logarithmen?"
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