📌 Das Wichtigste in einem Satz
Bei einer Exponentialgleichung a·b^x=c steht die gesuchte Größe x im EXPONENTEN — normale Umformungen (Wurzel ziehen, dividieren) reichen nicht aus, um x freizustellen. Die Lösung: zuerst b^x=c/a isolieren (durch a dividieren), dann den LOGARITHMUS anwenden: x=log_b(c/a). Der Logarithmus ist genau das Werkzeug, das eine Gleichung nach dem Exponenten auflöst.
Merkregel: a·b^x=c → zuerst durch a dividieren (b^x=c/a), dann x=log_b(c/a).
Beispiel 1
Für 2·3^x=54: was ist der erste Schritt, um x zu lösen?
2·3^x=54
- Durch 2 dividieren: 3^x=27
- Sofort den Logarithmus auf beide Seiten anwenden, ohne vorher durch 2 zu teilen
- Die Wurzel ziehen: 3^(x/2)=√54
So kommst du darauf: Man muss zuerst b^x ISOLIEREN, bevor man den Logarithmus anwenden kann: 54:2=27, also 3^x=27.
Beispiel 2
Für 3^x=27: löse mit dem Logarithmus nach x auf
3^x=27
- x=log_3(27)=3, denn 3^3=27
- x=27/3=9, Division statt Logarithmus
- x=3^27, die Basis und den Exponenten vertauscht
So kommst du darauf: x=log_3(27)=3, denn 3^3=27.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, dass ich ZUERST durch a dividieren muss, BEVOR ich den Logarithmus anwende?"
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