📌 Das Wichtigste in einem Satz
Bei Wachstumssachaufgaben lautet die typische Frage: „Nach wie vielen Schritten (Stunden, Jahren, ...) erreicht der Bestand einen bestimmten Wert?" Aus N0·b^x=N (N0=Anfangsbestand, b=Wachstumsfaktor, x=gesuchte Anzahl Schritte, N=Zielbestand) folgt: zuerst b^x=N/N0 isolieren, dann x=log_b(N/N0) — genau dieselbe Technik wie bei den Exponentialgleichungen aus Lektion 4, nur mit einer Wachstums-Erzählung drumherum.
Merkregel: N0·b^x=N → b^x=N/N0 → x=log_b(N/N0).
Beispiel 1
Eine Bakterienkultur startet bei N0=10 und verdoppelt sich jede Stunde (Wachstumsfaktor 2). Nach wie vielen Stunden hat sie 80 Bakterien erreicht?
N0=10, b=2, N=80
- 3 Stunden, denn 80:10=8, und log_2(8)=3
- 8 Stunden, denn 80:10=8 wird direkt als Anzahl der Stunden übernommen, ohne den Logarithmus anzuwenden
- 70 Stunden, denn 80−10=70, Subtraktion statt Division
So kommst du darauf: Erst N/N0=80:10=8 berechnen, dann x=log_2(8)=3.
Beispiel 2
Für dieselbe Bakterienkultur: was bedeutet der Wert 8 (also N/N0), bevor man den Logarithmus anwendet?
N/N0=8 — was bedeutet das?
- 8 ist der WACHSTUMSFAKTOR insgesamt (2^x), noch nicht die gesuchte Anzahl der Stunden x selbst
- 8 ist bereits die Antwort — die Anzahl der Stunden
- 8 ist der Anfangsbestand N0
So kommst du darauf: N/N0=2^x — das ist der GESAMTE Wachstumsfaktor, nicht x selbst. Man braucht noch den Logarithmus, um x zu isolieren.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, dass ich zuerst N/N0 berechnen muss, bevor ich den Logarithmus anwenden kann?"
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