📌 Das Wichtigste in einem Satz
Der Grenzwert lim(x→x0) f(x) beschreibt, welchem Wert f(x) sich annähert, wenn x sich x0 annähert — von BEIDEN Seiten. Der LINKSSEITIGE Grenzwert lim(x→x0⁻) f(x) betrachtet nur x-Werte KLEINER als x0, der RECHTSSEITIGE Grenzwert lim(x→x0⁺) f(x) nur x-Werte GRÖSSER als x0. Der (beidseitige) Grenzwert lim(x→x0) f(x) existiert nur dann, wenn linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert ÜBEREINSTIMMEN. Ist f(x) an der Stelle x0 durch einen einzigen Term gegeben (kein Sprung), setzt man x0 einfach ein.
Merkregel: Grenzwert existiert nur, wenn linksseitiger = rechtsseitiger Grenzwert.
Beispiel 1
Für f(x)=x²+2x: wie hoch ist lim(x→3) f(x)?
f(x) = x² + 2x, x→3
- 15, denn f(3)=3²+2·3=9+6=15, einfach einsetzen
- 5, denn nur 3+2=5 gerechnet, das Quadrieren vergessen
- 9, denn nur x² berechnet, den zweiten Term vergessen
So kommst du darauf: Da f(x) ein einziger, durchgehender Term ohne Sprung ist, setzt man x0=3 einfach ein: 9+6=15.
Beispiel 2
Eine Funktion hat an der Stelle x0=2 einen Sprung: lim(x→2⁻) f(x)=3, aber lim(x→2⁺) f(x)=5. Existiert lim(x→2) f(x)?
links=3, rechts=5 — existiert lim(x→2) f(x)?
- Nein, denn linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert stimmen nicht überein (3≠5)
- Ja, und zwar 4, der Mittelwert aus 3 und 5
- Ja, und zwar 3, der linksseitige Grenzwert wird automatisch übernommen
So kommst du darauf: Der beidseitige Grenzwert existiert nur, wenn linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen — hier ist das nicht der Fall.
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„Weiß ich noch, warum ein Grenzwert an einer Sprungstelle NICHT existiert?"
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