📌 Das Wichtigste in einem Satz
Eine Funktion f heißt STETIG an der Stelle x0, wenn DREI Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind: (1) f(x0) ist definiert, (2) der Grenzwert lim(x→x0) f(x) existiert (linksseitiger = rechtsseitiger Grenzwert), und (3) dieser Grenzwert stimmt mit dem Funktionswert überein: lim(x→x0) f(x) = f(x0). Fehlt eine dieser drei Bedingungen, ist die Funktion an dieser Stelle UNSTETIG. Alle Polynomfunktionen sind an JEDER Stelle stetig; rationale Funktionen sind an ihren Definitionslücken unstetig (dort ist Bedingung 1 verletzt).
Merkregel: stetig ⟺ f(x0) definiert UND Grenzwert existiert UND Grenzwert=f(x0).
Beispiel 1
Für f(x)=x²−1: ist f an der Stelle x0=3 stetig?
f(x)=x²−1, x0=3
- Ja, denn f(3)=8 ist definiert, lim(x→3) f(x)=8 existiert, und beide stimmen überein
- Nein, Polynomfunktionen sind nie stetig
- Das lässt sich ohne Grafik nicht bestimmen
So kommst du darauf: f(3)=9−1=8, und der Grenzwert stimmt mit dem Funktionswert überein — alle drei Bedingungen sind erfüllt.
Beispiel 2
Für f(x)=1/(x−2): ist f an der Stelle x0=2 stetig?
f(x)=1/(x−2), x0=2
- Nein, denn f(2) ist NICHT definiert (Division durch 0) — Bedingung 1 ist verletzt
- Ja, denn der Grenzwert existiert trotzdem
- Ja, weil rationale Funktionen immer stetig sind
So kommst du darauf: Bei x0=2 wird der Nenner 0, f(2) ist nicht definiert — damit ist die Funktion dort unstetig.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, welche der drei Stetigkeitsbedingungen bei einer Definitionslücke verletzt ist?"
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