📌 Das Wichtigste in einem Satz
An einer HEBBAREN LÜCKE (der Faktor kommt in Zähler UND Nenner vor) existiert der Grenzwert lim(x→x0) f(x) trotz der Definitionslücke — man kürzt den gemeinsamen Faktor und setzt dann x0 in die gekürzte Funktion ein. An einer echten POLSTELLE (der Faktor kommt NUR im Nenner vor) existiert KEIN Grenzwert — die Funktion wächst dort über alle Grenzen. Diese Unterscheidung kennst du bereits aus der 6. Klasse (hebbare Lücke vs. Polstelle) — jetzt berechnest du zusätzlich den TATSÄCHLICHEN Grenzwert an der hebbaren Lücke.
Merkregel: hebbare Lücke → kürzen, dann einsetzen. Polstelle → kein Grenzwert.
Beispiel 1
Für f(x)=(x−3)/((x−3)(x−5)): wie hoch ist lim(x→3) f(x)?
f(x)=(x−3)/((x−3)(x−5)), x→3
- −1/2, denn man kürzt (x−3) und erhält 1/(x−5), dann lim(x→3) 1/(x−5)=1/(3−5)=−1/2
- Kein Grenzwert, da x=3 eine Definitionslücke ist
- 1/8, denn 1/(3+5) statt 1/(3−5) berechnet
So kommst du darauf: Nach dem Kürzen von (x−3) bleibt 1/(x−5) — an der Stelle x=3 ergibt das 1/(3−5)=−1/2. Die Lücke ist hebbar, der Grenzwert existiert.
Beispiel 2
Für f(x)=4/((x−2)(x−6)): wie hoch ist lim(x→2) f(x)?
f(x)=4/((x−2)(x−6)), x→2
- Kein Grenzwert, denn x=2 ist eine echte Polstelle (der Faktor (x−2) kommt nur im Nenner vor)
- −1, den Zähler durch die Faktoren geteilt
- 4, den Zählerwert direkt als Grenzwert übernommen
So kommst du darauf: Da (x−2) nur im Nenner steht (nicht kürzbar), ist x=2 eine echte Polstelle — dort existiert kein Grenzwert.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum man an einer hebbaren Lücke zuerst kürzen muss, bevor man einsetzt?"
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