📌 Das Wichtigste in einem Satz
Modul 1 im Überblick: Grenzwerte von Bruchfolgen an=(an+b)/(cn+d): durch n dividieren, lim=a/c. Grenzwerte von Funktionen für x→∞: identische Technik, entspricht der waagrechten Asymptote. Grenzwerte an einer Stelle: bei stetigem Term einfach einsetzen, bei Sprungstellen links-/rechtsseitigen Grenzwert vergleichen. Stetigkeit: f(x0) definiert UND Grenzwert existiert UND beide stimmen überein. Rationale Funktionen: hebbare Lücke → kürzen und einsetzen, Polstelle → kein Grenzwert.
Bei jeder Aufgabe zuerst fragen: Geht es um n→∞, x→∞, oder um eine bestimmte Stelle x0?
Beispiel 1
Bestimme den Grenzwert der Folge an=(4n+3)/(2n−1) für n→∞
an = (4n+3)/(2n−1), n→∞
- 2, denn lim an = 4/2 = 2
- 4, der Nenner-Koeffizient beim Kürzen vergessen
- −3, das Verhältnis der Konstanten statt der n-Koeffizienten verwendet
So kommst du darauf: lim an = 4/2 = 2 — durch n dividieren, dann verschwinden die Konstanten.
Beispiel 2
Für f(x)=(6x−1)/(3x+4): Grad des Zählers ist 1, Grad des Nenners ist 1 (gleich). Wie hoch ist lim(x→∞) f(x)?
Grad Zähler=1, Grad Nenner=1, Leitkoeff. 6 und 3
- 2, denn lim(x→∞) f(x)=6/3=2
- 3, der Nennerkoeffizient wird direkt übernommen
- Kein Grenzwert, da beide Grade gleich sind
So kommst du darauf: Bei gleichem Grad: 6/3=2.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Welches der fünf Themen aus Modul 1 fällt mir noch am schwersten?"
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