📌 Das Wichtigste in einem Satz
Die MITTLERE ÄNDERUNGSRATE einer Funktion f zwischen zwei Stellen x1 und x2 ist der DIFFERENZENQUOTIENT: m=(f(x2)−f(x1))/(x2−x1). Geometrisch ist das die Steigung der SEKANTE — der Geraden durch die beiden Punkte P1(x1|f(x1)) und P2(x2|f(x2)) auf dem Funktionsgraphen. Für f(x)=a·x² vereinfacht sich der Differenzenquotient zu m=a·(x1+x2), da (x2²−x1²)/(x2−x1)=x2+x1 gilt (die dritte binomische Formel rückwärts angewendet).
Merkregel: Differenzenquotient m=(f(x2)−f(x1))/(x2−x1) = Sekantensteigung. Für f(x)=a·x²: m=a·(x1+x2).
Beispiel 1
Für f(x)=x²: bestimme die mittlere Änderungsrate zwischen x1=2 und x2=5
f(x)=x², x1=2, x2=5
- 7, denn m=x1+x2=2+5=7
- 3, denn m=x2−x1=5−2=3, die Sekantensteigung mit der Differenz der Stellen verwechselt
- 21, denn f(5)−f(2)=25−4=21 berechnet, aber die Division durch (x2−x1) vergessen
So kommst du darauf: m=(f(5)−f(2))/(5−2)=(25−4)/3=21/3=7. Für f(x)=x² gilt die Abkürzung m=x1+x2=2+5=7.
Beispiel 2
Was beschreibt die mittlere Änderungsrate geometrisch?
Was ist die mittlere Änderungsrate geometrisch?
- Die Steigung der SEKANTE — der Geraden durch die zwei Punkte P1(x1|f(x1)) und P2(x2|f(x2)) auf dem Funktionsgraphen
- Die Steigung der Tangente an einem einzigen Punkt
- Den senkrechten Abstand zwischen den beiden Punkten
So kommst du darauf: Die mittlere Änderungsrate ist die Sekantensteigung — die Tangente kommt erst bei der momentanen Änderungsrate ins Spiel.
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„Weiß ich noch, warum sich (x2²−x1²)/(x2−x1) zu x2+x1 vereinfacht?"
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