📌 Das Wichtigste in einem Satz
Bei f(x)=(x−a)^k·... kommt der Linearfaktor (x−a) genau k-mal in der Faktorisierung vor — man sagt, x=a ist eine Nullstelle mit VIELFACHHEIT k. Die Vielfachheit entscheidet über das Verhalten des Graphen an dieser Stelle: bei GERADER Vielfachheit ändert sich das Vorzeichen von f(x) nicht — der Graph BERÜHRT die x-Achse nur und dreht wieder um. Bei UNGERADER Vielfachheit ändert sich das Vorzeichen — der Graph SCHNEIDET die x-Achse. Wichtig: die Vielfachheit einer einzelnen Nullstelle ist NICHT dasselbe wie der Gesamtgrad des Polynoms — der Gesamtgrad ist die SUMME aller Vielfachheiten.
Vielfachheit k = wie oft der Faktor (x−a) vorkommt. Gerade k → Graph berührt. Ungerade k → Graph schneidet.
Beispiel 1
Gegeben ist f(x)=(x−2)²·(x+1). Welche Vielfachheit hat die Nullstelle x=2?
f(x)=(x−2)²·(x+1)
- Vielfachheit 2, denn der Faktor (x−2) kommt 2-mal vor
- Vielfachheit 1, das ist die Vielfachheit der ANDEREN Nullstelle x=−1
- Vielfachheit 3, das ist der Gesamtgrad des Polynoms (2+1), nicht die Vielfachheit von x=2
So kommst du darauf: Der Exponent bei (x−2) ist 2.
Beispiel 2
Eine Nullstelle hat die Vielfachheit 2. Berührt der Graph die x-Achse dort nur, oder schneidet er sie?
Nullstelle mit Vielfachheit 2
- Der Graph BERÜHRT die x-Achse nur (kein Vorzeichenwechsel), da die Vielfachheit 2 GERADE ist
- Der Graph SCHNEIDET die x-Achse (Vorzeichenwechsel)
- Das lässt sich ohne den genauen Funktionsterm nicht bestimmen
So kommst du darauf: Gerade Vielfachheit → berühren, nicht schneiden.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum eine GERADE Vielfachheit dazu führt, dass der Graph die x-Achse nur berührt?"
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