📌 Das Wichtigste in einem Satz
Modul 9 im Überblick: sin(x)=a lässt sich im ersten Quadranten [0°,90°] direkt aus der Werte-Tabelle ablesen. Im vollen Bereich [0°,360°) gibt es meist ZWEI Lösungen — bei Sinus über die Symmetrie 180°−α, bei Kosinus über 360°−α. Tangens hat Periode 180° (statt 360°), deshalb oft nur EINE Lösung pro Umlauf. Bei mehrfachen Winkeln wie sin(2x)=a wird substituiert (u=2x), gelöst, und am Ende durch den Winkelfaktor geteilt. Und Schwingungen y(t)=A·sin(ωt) verbinden alles: A ist die Amplitude, ω=360°/T die Winkelgeschwindigkeit, und das erste Maximum liegt bei t=T/4.
sin: 180°−α. cos: 360°−α. tan: Periode 180°. Mehrfacher Winkel: substituieren, lösen, teilen. Schwingung: y(t)=A·sin(ωt).
Beispiel 1
Eine Feder schwingt nach y(t)=A·sin(30°·t) mit Amplitude A=6cm (t in Sekunden). Berechne y(1)
y(t)=6·sin(30°·t)
- y(1)=3cm, denn y(1)=6·sin(30°)=6·0,5=3cm
- y(1)=0,5cm, den Amplitudenfaktor A vergessen
- y(1)=6cm, die Amplitude A als Ergebnis übernommen
So kommst du darauf: y(1)=6·0,5=3cm.
Beispiel 2
Warum hat tan(x)=1 im Bereich [0°,180°) nur EINE Lösung, obwohl sin- und cos-Gleichungen im vollen Kreis meist zwei haben?
Warum nur eine Lösung bei tan(x)=1?
- Weil die Periode von tan nur 180° beträgt (statt 360° wie bei sin/cos) — im Bereich [0°,180°) passt also nur eine volle Periode, nicht zwei
- tan(x)=1 hat gar keine Lösung
- tan hat immer unendlich viele Lösungen im Bereich [0°,180°)
So kommst du darauf: Periode 180° ⟹ eine Lösung pro Intervall.
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„Welche der fünf Techniken aus Modul 9 fällt mir noch am schwersten?"
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