📌 Das Wichtigste in einem Satz
Das Horner-Schema berechnet f(a) mit weniger Multiplikationen als das direkte Einsetzen. Man schreibt die Koeffizienten von f(x) auf, schreibt den Leitkoeffizienten (meist 1) herunter, und wiederholt dann: MULTIPLIZIERE den vorherigen Wert mit a, ADDIERE den nächsten Koeffizienten. Der letzte Wert, den man erhält, ist der REST r der Division f(x):(x−a) — und zugleich der Funktionswert f(a) (Rest-Satz). Die Werte davor sind die Koeffizienten des Quotientenpolynoms.
Horner-Schritt: (vorheriger Wert)·a + (nächster Koeffizient). Der letzte Wert ist r=f(a).
Beispiel 1
Beim Horner-Schema für f(x):(x−a) erhält man am Ende einen Wert r. Was bedeutet r?
Horner-Schema: der letzte Wert r
- r ist der Rest der Division f(x):(x−a) UND zugleich der Funktionswert f(a) — Horner berechnet also nebenbei auch f(a)
- r ist immer 0, egal welches a man einsetzt
- r ist der Leitkoeffizient des Quotienten
So kommst du darauf: r=f(a), der Rest-Satz.
Beispiel 2
Warum ist das Horner-Schema effizienter, um f(a) zu berechnen, als jeden Term einzeln auszurechnen?
Warum ist Horner effizient?
- Weil man f(x) als geschachtelte Form schreibt (z. B. ((x+b2)x+b1)x+b0) und dadurch mit weniger Multiplikationen auskommt als beim einzelnen Berechnen jeder Potenz x², x³, ...
- Weil das Horner-Schema ein anderes Ergebnis liefert als das direkte Einsetzen
- Weil man beim Horner-Schema keine Multiplikationen braucht, nur Additionen
So kommst du darauf: Geschachtelte Form spart Multiplikationen.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum der letzte Wert im Horner-Schema gleichzeitig der Rest UND der Funktionswert f(a) ist?"
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