📌 Das Wichtigste in einem Satz
Bisher musste man Nullstellen höherer Polynome oft "erraten" — jetzt gibt es eine klare Einschränkung: für f(x)=x³+b2x²+b1x+b0 mit ganzzahligen Koeffizienten muss JEDE ganzzahlige Nullstelle ein TEILER des konstanten Glieds b0 sein. Grund: aus f(k)=0 folgt k·(k²+b2k+b1)=−b0, also muss k ein Teiler von −b0 (und damit von b0) sein. Das schränkt die Suche stark ein: statt alle ganzen Zahlen durchzuprobieren, reicht es, nur die Teiler von b0 zu testen — meist nur eine Handvoll Kandidaten. Wichtig: Teiler von b0 zu sein ist NOTWENDIG, aber nicht HINREICHEND — man muss jeden Kandidaten noch mit f(Kandidat)=0 überprüfen (z. B. per Horner-Schema).
Ganzzahlige Nullstelle von f(x)=x³+b2x²+b1x+b0 muss Teiler von b0 sein. Kandidaten noch mit f(k)=0 prüfen!
Beispiel 1
f(x)=x³ − x² + 4x − 4 hat ganzzahlige Koeffizienten. Welche der beiden Zahlen k1=−2, k2=−6 kann laut Satz vom rationalen Nullstellen überhaupt eine ganzzahlige Nullstelle von f sein?
f(x)=x³ − x² + 4x − 4
- k1=−2, denn −2 ist ein Teiler von −4 (dem konstanten Glied) — −6 ist das nicht
- k2=−6, fälschlich als Teiler von −4 angenommen
- Beide, −2 und −6, sind gültige Kandidaten
So kommst du darauf: −2 teilt −4, −6 nicht.
Beispiel 2
Warum muss eine GANZZAHLIGE Nullstelle von f(x)=x³+b2x²+b1x+b0 (ganzzahlige Koeffizienten) immer ein Teiler von b0 sein?
Warum nur Teiler von b0?
- Weil aus f(k)=0 folgt k³+b2k²+b1k=−b0, also k·(k²+b2k+b1)=−b0 — k multipliziert mit einer ganzen Zahl ergibt −b0, also muss k ein Teiler von b0 sein
- Weil jede ganze Zahl automatisch ein Teiler von b0 ist
- Weil b0 immer eine Nullstelle von f ist
So kommst du darauf: k·(...)=−b0 zeigt: k muss Teiler von b0 sein.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum eine ganzzahlige Nullstelle immer ein Teiler des konstanten Glieds sein muss?"
Weiter üben mit Mathe Octopus
Diese Lektion hat noch mehr Aufgaben, jeder Fehler wird erklärt, und im Übungsmodus gibt es beliebig viele frische Aufgaben zu Ganzrationale Nullstellen erraten. Der Lernplan wiederholt zur richtigen Zeit.
Ohne Karte, ohne Verpflichtung. Danach 7,90 € pro Monat, jederzeit kündbar. Preise ansehen