📌 Das Wichtigste in einem Satz
Ein Polynom vom Grad n hat HÖCHSTENS n−1 lokale Extremstellen (Hoch-/Tiefpunkte) — nicht n, sondern n−1, weil die Ableitung eines Grad-n-Polynoms ein Grad-(n−1)-Polynom ist und höchstens n−1 Nullstellen hat. Außerdem hat ein Polynom vom Grad n höchstens n Nullstellen (Vielfachheit mitgezählt) — es können auch weniger sein. Kombiniert man das mit der Vielfachheit aus Lektion 1: eine BERÜHRUNG der x-Achse braucht mindestens Vielfachheit 2, ein SCHNEIDEN mindestens Vielfachheit 1 — die Summe aller Mindest-Vielfachheiten ist der kleinstmögliche Grad eines Polynoms mit einem bestimmten Nullstellen-Verhalten.
Grad n → höchstens n−1 Extremstellen, höchstens n Nullstellen. Berühren braucht Vielfachheit ≥2, Schneiden ≥1.
Beispiel 1
Der Graph von f berührt die x-Achse bei x=−2 und schneidet sie bei x=−3. Was ist der kleinstmögliche Grad von f?
Kleinstmöglicher Grad von f
- Grad 3, denn jede BERÜHRUNG braucht mindestens Vielfachheit 2, jedes SCHNEIDEN mindestens Vielfachheit 1 — die Summe ist der kleinstmögliche Grad
- Grad 2, einfach die Anzahl der Stellen gezählt, ohne die Vielfachheit zu beachten
- Grad 4, als ob JEDE Stelle mindestens Vielfachheit 2 bräuchte
So kommst du darauf: 2 (Berührung) + 1 (Schneiden) = 3.
Beispiel 2
Wie hängt der Grad n eines Polynoms mit der maximalen Anzahl an Nullstellen zusammen?
Grad n und maximale Anzahl an Nullstellen
- Ein Polynom vom Grad n hat HÖCHSTENS n Nullstellen (Vielfachheit mitgezählt) — es können auch weniger sein
- Ein Polynom vom Grad n hat IMMER genau n Nullstellen, nie weniger
- Die Anzahl der Nullstellen hat nichts mit dem Grad zu tun
So kommst du darauf: Grad n → Obergrenze, nicht garantierte Anzahl.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum ein Polynom vom Grad n höchstens n−1 (und nicht n) Extremstellen hat?"
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