📌 Das Wichtigste in einem Satz
Modul 10 im Überblick: die Vielfachheit einer Nullstelle ist der Exponent bei ihrem Linearfaktor — gerade Vielfachheit → Graph berührt die x-Achse, ungerade → er schneidet sie. Das Horner-Schema berechnet f(a) effizient: (vorheriger Wert)·a + (nächster Koeffizient), der letzte Wert ist der Rest r=f(a). Nicht jede Polynomdivision f(x):(x−a) geht auf — Rest r=0 nur, wenn a eine Nullstelle ist. Ganzzahlige Nullstellen müssen Teiler des konstanten Glieds b0 sein (aber nicht jeder Teiler ist automatisch eine Nullstelle — nachrechnen!). Und: ein Polynom vom Grad n hat höchstens n−1 Extremstellen und höchstens n Nullstellen.
Vielfachheit: gerade→berühren, ungerade→schneiden. Horner: ·a+Koeffizient. Rest r=f(a). Nullstellen: Teiler von b0. Grad n→höchstens n−1 Extremstellen.
Beispiel 1
Gegeben ist f(x)=(x−2)²·(x+1). Welche Vielfachheit hat die Nullstelle x=2?
f(x)=(x−2)²·(x+1)
- Vielfachheit 2, denn der Faktor (x−2) kommt 2-mal vor
- Vielfachheit 1, das ist die Vielfachheit der ANDEREN Nullstelle x=−1
- Vielfachheit 3, das ist der Gesamtgrad des Polynoms (2+1), nicht die Vielfachheit von x=2
So kommst du darauf: Der Exponent bei (x−2) ist 2.
Beispiel 2
Berechne (x³ − 4x² + 2x + 5) : (x − 2) — gib Quotient UND Rest an
(x³ − 4x² + 2x + 5) : (x − 2)
- x² − 2x − 2 Rest 1, denn (x − 2)·(x² − 2x − 2) + 1=x³ − 4x² + 2x + 5
- x² − 2x − 2, den Rest weggelassen
- x² − 2x − 1, den Rest einfach zum konstanten Glied des Quotienten addiert
So kommst du darauf: Rest 1 bleibt übrig.
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