📌 Das Wichtigste in einem Satz
Eine Kugel im Raum mit Mittelpunkt M=(mx;my;mz) und Radius r besteht aus allen Punkten P, deren Abstand zu M genau r beträgt. Das führt zur Kugelgleichung: (x−mx)²+(y−my)²+(z−mz)²=r². Wichtig: in den Klammern steht ein MINUS-Zeichen, und auf der rechten Seite steht r² (nicht r selbst) — um den Radius abzulesen, muss man noch die Wurzel ziehen. Der Mittelpunkt lässt sich direkt ablesen: die Zahl nach dem Minus in jeder Klammer ist die jeweilige Koordinate von M.
Kugelgleichung: (x−mx)²+(y−my)²+(z−mz)²=r². Mittelpunkt direkt ablesen, Radius = Wurzel aus der rechten Seite.
Beispiel 1
Welchen Mittelpunkt M hat die Kugel mit der Gleichung (x−2)²+(y+4)²+(z+2)²=16?
(x−2)²+(y+4)²+(z+2)²=16
- M=(2;-4;-2), denn in (x−mx)² steht mx=2 (analog für y, z)
- M=(-2;4;2), die Vorzeichen der Koordinaten vertauscht
- M=(-4;2;-2), die x- und y-Koordinate vertauscht
So kommst du darauf: Mittelpunktkoordinaten direkt nach dem Minus ablesen.
Beispiel 2
Kugel mit Mittelpunkt M=(2;-3;1) und Radius r=5. Wie lautet die Kugelgleichung?
M=(2;-3;1), r=5
- (x−2)²+(y+3)²+(z−1)²=25, denn (x−mx)²+(y−my)²+(z−mz)²=r² mit M=(2;-3;1) und r²=25
- (x+2)²+(y−3)²+(z+1)²=25, die Vorzeichen in den Klammern vertauscht
- (x−2)²+(y+3)²+(z−1)²=5, r statt r² auf die rechte Seite geschrieben
So kommst du darauf: M mit Minus einsetzen, r²=25 rechts.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum ich bei der Kugelgleichung die Wurzel ziehen muss, um den Radius zu bekommen?"
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