📌 Das Wichtigste in einem Satz
Berührt eine Ebene die Kugel in genau einem Punkt P, nennt man sie Tangentialebene. Ihr Normalvektor ist der Radiusvektor MP=P−M — denn der Radius zum Berührpunkt steht immer senkrecht auf der Tangentialebene (genau wie bei der Tangente an einen Kreis in der Ebene). Um MP zu berechnen, muss man wirklich die DIFFERENZ P−M bilden, komponentenweise — nicht einfach P oder M allein übernehmen.
Normalvektor der Tangentialebene in P: n=MP=P−M. Der Radius zum Berührpunkt steht senkrecht auf der Ebene.
Beispiel 1
Eine Kugel hat Mittelpunkt M=(3;1;2). Der Punkt P=(6;-1;1) liegt auf der Kugel. Welchen Normalvektor hat die Tangentialebene in P?
M=(3;1;2), P=(6;-1;1)
- n=MP=(3;-2;-1), denn MP=P−M=(6−3;(-1)−1;1−2)=(3;-2;-1)
- n=(6;-1;1), einfach den Ortsvektor von P übernommen, ohne M abzuziehen
- n=(3;1;2), einfach den Ortsvektor von M übernommen statt der Differenz P−M
So kommst du darauf: MP=P−M=(3;-2;-1).
Beispiel 2
Warum ist der Vektor MP (von Mittelpunkt M zum Berührpunkt P) der Normalvektor der Tangentialebene in P?
Warum ist MP der Normalvektor?
- Weil der Radius MP im Berührpunkt P senkrecht auf der Tangentialebene steht — das ist die Grundeigenschaft einer Tangente an eine Kugel (wie bei der Tangente an einen Kreis)
- Weil MP zufällig immer senkrecht auf JEDER beliebigen Ebene steht
- Der Normalvektor kann eine beliebige Richtung haben — MP ist nur eine mögliche Wahl unter vielen
So kommst du darauf: Radius steht senkrecht auf der Tangentialebene.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum der Radius zum Berührpunkt senkrecht auf der Tangentialebene steht?"
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