📌 Das Wichtigste in einem Satz
Modul 11 im Überblick: die Kugelgleichung (x−mx)²+(y−my)²+(z−mz)²=r² verrät Mittelpunkt (mit Minus in den Klammern) und Radius (Wurzel aus der rechten Seite). Bei Punkten UND Geraden gilt dieselbe Vergleichslogik: Abstand zum Mittelpunkt kleiner als r → innerhalb/Sekante, gleich r → auf der Kugel/Tangente, größer r → außerhalb/kein gemeinsamer Punkt. Schneidet eine Ebene die Kugel, gilt für den Schnittkreisradius Pythagoras: r_K=√(r²−d²). Und die Tangentialebene in einem Berührpunkt P hat als Normalvektor den Radiusvektor MP=P−M, weil dieser senkrecht auf der Ebene steht.
Kugelgleichung: Minus im Klammer, r² rechts. Punkt/Gerade: Abstand vs r vergleichen. Schnittkreis: r_K=√(r²−d²). Tangentialebene: n=MP.
Beispiel 1
Kugel: Mittelpunkt M=(3;-1;3), Radius r=7. Punkt P=(6;-7;9). Liegt P innerhalb, auf, oder außerhalb der Kugel?
M=(3;-1;3), r=7, P=(6;-7;9)
- P liegt AUSSERHALB der Kugel, denn |MP|=9 > r=7
- P liegt INNERHALB der Kugel, denn |MP|=9 < r=7
- P liegt AUF der Kugel, denn |MP|=9 = r=7
So kommst du darauf: |MP|=9 > r=7 → außerhalb.
Beispiel 2
Eine Gerade g hat vom Mittelpunkt M einer Kugel den Abstand d=5. Die Kugel hat Radius r=5. Welche Lagebeziehung liegt vor?
d=5, r=5
- TANGENTE — die Gerade berührt die Kugel in GENAU EINEM Punkt, denn d=5 = r=5
- SEKANTE — die Gerade schneidet die Kugel in ZWEI Punkten, denn d=5 < r=5
- KEIN gemeinsamer Punkt — die Gerade verläuft außerhalb der Kugel, denn d=5 > r=5
So kommst du darauf: d=5 = r=5 → Tangente.
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