📌 Das Wichtigste in einem Satz
Bei großem n wird die Berechnung von Binomialwahrscheinlichkeiten P(X=k) unpraktisch — riesige Fakultäten und Binomialkoeffizienten. Deshalb nähert man die Binomialverteilung durch eine NORMALVERTEILUNG an, sobald n groß genug ist. Die Näherung übernimmt dieselben Kennwerte: μ=n·p (Erwartungswert) und σ=√(n·p·(1−p)) (Standardabweichung) — genau wie bei der Binomialverteilung selbst. Wichtig: es ist eine NÄHERUNG, keine exakte Übereinstimmung — sie wird bei wachsendem n immer besser, nie perfekt exakt.
Große n → Normalverteilung als Näherung. μ=n·p, σ=√(n·p·(1−p)) — dieselben Kennwerte wie bei der Binomialverteilung.
Beispiel 1
Warum nähert man eine Binomialverteilung mit großem n durch eine Normalverteilung an, statt die Binomialformel direkt zu benutzen?
Warum die Normalverteilung als Näherung?
- Weil bei großem n die Binomialformel mit riesigen Fakultäten/Binomialkoeffizienten kaum noch praktisch berechenbar ist — die Normalverteilung liefert eine gute, einfacher zu handhabende Näherung mit denselben Kennwerten μ und σ
- Weil Binomial- und Normalverteilung bei großem n immer exakt identische Wahrscheinlichkeiten liefern
- Weil die Normalverteilung nur bei sehr kleinem n eine gute Näherung ist
So kommst du darauf: Große n → Binomialformel unpraktisch, Normalverteilung als Näherung.
Beispiel 2
Eine Binomialverteilung mit n=20, p=0,3 wird durch eine Normalverteilung angenähert. Welche Standardabweichung σ hat diese Normalverteilung?
n=20, p=0,3 — σ=?
- σ=√(20·0,3·0,7)=√4,2≈2,05
- σ=4,2, die Varianz direkt als σ übernommen, ohne die Wurzel zu ziehen
- σ=6, μ als σ übernommen
So kommst du darauf: σ=√(n·p·(1−p))≈2,05.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum man bei großem n überhaupt eine Näherung braucht, statt die Binomialformel direkt zu nutzen?"
Weiter üben mit Mathe Octopus
Diese Lektion hat noch mehr Aufgaben, jeder Fehler wird erklärt, und im Übungsmodus gibt es beliebig viele frische Aufgaben zu Von der Binomial- zur Normalverteilung. Der Lernplan wiederholt zur richtigen Zeit.
Ohne Karte, ohne Verpflichtung. Danach 7,90 € pro Monat, jederzeit kündbar. Preise ansehen