📌 Das Wichtigste in einem Satz
Jede normalverteilte Größe X mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ lässt sich STANDARDISIEREN: z=(x−μ)/σ. Das Ergebnis z gibt an, wie viele Standardabweichungen der Wert x vom Mittelwert μ entfernt liegt. Der Vorteil: egal welche μ und σ die ursprüngliche Verteilung hat, nach der Standardisierung kann man IMMER dieselbe Standardnormalverteilungs-Tabelle (μ=0, σ=1) zum Nachschlagen von Wahrscheinlichkeiten verwenden. Die Rückrechnung von z zu x funktioniert mit der umgestellten Formel: x=μ+z·σ.
z=(x−μ)/σ: erst μ abziehen, dann durch σ teilen. Rückrechnung: x=μ+z·σ.
Beispiel 1
Eine normalverteilte Größe X hat μ=50, σ=10. Standardisiere den Wert x=70 (berechne z)
x=70, μ=50, σ=10
- z=2, denn z=(x−μ)/σ=(70−50)/10=2
- z=20, nur x−μ berechnet, ohne durch σ zu teilen
- z=7, μ beim Standardisieren vergessen (nur x/σ gerechnet)
So kommst du darauf: z=(70−50)/10=2.
Beispiel 2
Warum standardisiert man einen Wert x einer Normalverteilung mit z=(x−μ)/σ, statt direkt mit x zu rechnen?
Warum die z-Transformation?
- So kann man Wahrscheinlichkeiten für JEDE Normalverteilung mit derselben Standardnormalverteilungs-Tabelle nachschlagen, egal welche μ und σ die ursprüngliche Verteilung hat
- Weil x-Werte ohne Standardisierung gar nicht berechenbar wären
- Um die Normalverteilung in eine Binomialverteilung umzuwandeln
So kommst du darauf: Eine gemeinsame Tabelle für alle Normalverteilungen.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum man überhaupt standardisiert, statt direkt mit x zu rechnen?"
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