📌 Das Wichtigste in einem Satz
Die momentane Änderungsrate an der Stelle x0 — die ABLEITUNG f'(x0) — ist der GRENZWERT des Differenzenquotienten, wenn sich x2 der Stelle x1=x0 annähert: f'(x0)=lim(x2→x0) (f(x2)−f(x0))/(x2−x0). Für f(x)=a·x² gilt (aus der mittleren Änderungsrate m=a·(x1+x2)): lässt man x2 gegen x0 wandern, wird aus m=a·(x0+x2) genau a·(x0+x0)=2·a·x0. Also: f'(x0)=2·a·x0. Geometrisch ist f'(x0) die Steigung der TANGENTE an der Stelle x0 (die Sekante wird im Grenzwert zur Tangente).
Merkregel: f'(x0)=lim(x2→x0) Differenzenquotient. Für f(x)=a·x²: f'(x0)=2·a·x0.
Beispiel 1
Für f(x)=x²: wie hoch ist die momentane Änderungsrate (Ableitung) an der Stelle x0=4?
f(x)=x², x0=4
- 8, denn f'(x0)=2·x0=2·4=8
- 4, den Faktor 2 vergessen
- 16, denn x0²=16 berechnet, mit f(x0) statt f'(x0) verwechselt
So kommst du darauf: f'(x0)=2·x0=2·4=8 — der Faktor 2 kommt aus der Grenzwertbildung von m=x1+x2, wenn x2→x0.
Beispiel 2
Was ist der Unterschied zwischen der mittleren und der momentanen Änderungsrate?
Mittlere vs. momentane Änderungsrate
- Die mittlere Änderungsrate betrifft zwei VERSCHIEDENE Stellen x1 und x2 (Sekante); die momentane Änderungsrate ist der Grenzwert, wenn x2 gegen x1 wandert — sie beschreibt EINE einzige Stelle (Tangente)
- Beide Begriffe bedeuten genau dasselbe
- Die momentane Änderungsrate gibt es nur bei linearen Funktionen
So kommst du darauf: Die momentane Änderungsrate entsteht als Grenzwert der mittleren Änderungsrate, wenn die zweite Stelle gegen die erste wandert.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum aus a·(x1+x2) genau 2·a·x0 wird, wenn x2 gegen x0 wandert?"
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