📌 Das Wichtigste in einem Satz
Die TANGENTE an den Graphen von f an der Stelle x0 ist die Gerade t(x)=k·x+d mit der Steigung k=f'(x0), die durch den Punkt P(x0|f(x0)) verläuft. Man bestimmt d, indem man P in die Geradengleichung einsetzt: f(x0)=f'(x0)·x0+d, also d=f(x0)−f'(x0)·x0. Für f(x)=a·x² gilt f'(x0)=2·a·x0 und f(x0)=a·x0², daher d=a·x0²−2·a·x0·x0=a·x0²−2·a·x0²=−a·x0². Die Tangentengleichung lautet also t(x)=2·a·x0·x−a·x0².
Merkregel: k=f'(x0) (Steigung), d=f(x0)−k·x0 (aus dem Berührpunkt bestimmt). Für f(x)=a·x²: t(x)=2·a·x0·x−a·x0².
Beispiel 1
Für f(x)=x²: wie lautet die Gleichung der Tangente an der Stelle x0=3?
f(x)=x², x0=3
- t(x)=6x−9, denn k=2·3=6 und d=f(3)−k·3=9−18=−9
- t(x)=6x, das −9 (den y-Achsenabschnitt) vergessen
- t(x)=6x+9, das Vorzeichen von d vertauscht
So kommst du darauf: k=f'(3)=2·3=6. d=f(3)−k·3=9−6·3=9−18=−9. Die Tangente lautet t(x)=6x−9.
Beispiel 2
Warum bestimmt man d nicht einfach durch Raten, sondern durch Einsetzen des Berührpunkts P(x0|f(x0))?
Warum d aus dem Berührpunkt bestimmen?
- Weil die Tangente GENAU durch den Punkt P(x0|f(x0)) verlaufen muss — setzt man diesen Punkt in t(x)=k·x+d ein, erhält man die einzige Gleichung, die d eindeutig festlegt: f(x0)=k·x0+d
- d lässt sich nicht berechnen, man muss es immer schätzen
- d ist bei jeder Tangente automatisch 0
So kommst du darauf: Die Bedingung „die Tangente verläuft durch P(x0|f(x0))" liefert genau die Gleichung, aus der sich d berechnen lässt.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum man d aus dem Berührpunkt P(x0|f(x0)) bestimmt, statt ihn zu raten?"
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