📌 Das Wichtigste in einem Satz
Bisher hast du f'(x0) an EINER bestimmten Stelle x0 berechnet. Da die Formel f'(x0)=2·a·x0 für JEDE Stelle x0 gilt, kann man x0 durch die allgemeine Variable x ersetzen: f'(x)=2·a·x. Das ist die ABLEITUNGSFUNKTION — eine NEUE Funktion, die zu jedem x-Wert die Steigung der Tangente an dieser Stelle liefert. f' ist also selbst eine Funktion, keine einzelne Zahl. Um die Ableitung an einer konkreten Stelle x0 zu erhalten, setzt man x0 in die Ableitungsfunktion ein: f'(x0).
Merkregel: f'(x) ist eine FUNKTION (liefert die Steigung für JEDEN x-Wert), f'(x0) ist eine ZAHL (die Steigung an EINER Stelle).
Beispiel 1
Wie lautet die Ableitungsfunktion f'(x) für f(x)=5x²?
f(x)=5x²
- f'(x)=10x, denn f'(x)=2·5·x=10x
- f'(x)=5x, den Faktor 2 vergessen
- f'(x)=10x², den Exponenten nicht um 1 reduziert
So kommst du darauf: f'(x)=2·a·x mit a=5 ergibt f'(x)=10x.
Beispiel 2
Was ist der Unterschied zwischen f'(x) und f'(x0)?
f'(x) vs. f'(x0)
- f'(x) ist eine FUNKTION, die zu jedem x-Wert die Tangentensteigung liefert; f'(x0) ist eine einzelne ZAHL — die Tangentensteigung an genau der Stelle x0
- f'(x) und f'(x0) bedeuten genau dasselbe
- f'(x0) ist immer größer als f'(x)
So kommst du darauf: f'(x) ist eine Funktion, f'(x0) ist ihr Wert an einer konkreten Stelle — derselbe Unterschied wie zwischen f und f(x0).
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum f'(x) eine Funktion ist und nicht nur eine einzelne Zahl?"
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