📌 Das Wichtigste in einem Satz
Eine Funktion f ist an der Stelle x0 DIFFERENZIERBAR, wenn f'(x0) existiert — das heißt, wenn der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten ÜBEREINSTIMMEN. Stetigkeit an einer Stelle ist NOTWENDIG für Differenzierbarkeit, aber NICHT AUSREICHEND: das klassische Beispiel ist f(x)=|x| an der Stelle x0=0 — die Funktion ist dort stetig (kein Sprung), hat aber einen KNICK: von links nähert sich die Steigung −1, von rechts +1. Da diese beiden Werte nicht übereinstimmen, existiert f'(0) nicht — f ist an dieser Stelle nicht differenzierbar.
Merkregel: Differenzierbar ⟺ linksseitige Ableitung = rechtsseitige Ableitung. Stetig ist notwendig, aber nicht ausreichend.
Beispiel 1
Für f(x)=|x| an der Stelle x0=0: die linksseitige Ableitung ist −1, die rechtsseitige Ableitung ist +1. Ist f an x0=0 differenzierbar?
links=−1, rechts=+1 — differenzierbar bei x0=0?
- Nein, denn linksseitige und rechtsseitige Ableitung stimmen nicht überein (−1≠1) — es gibt einen Knick
- Ja, denn f(x)=|x| ist an der Stelle x0=0 stetig, und Stetigkeit reicht für Differenzierbarkeit aus
- Ja, und zwar mit f'(0)=0, dem Mittelwert aus −1 und 1
So kommst du darauf: Obwohl f(x)=|x| stetig ist, existiert f'(0) nicht, da linksseitige und rechtsseitige Ableitung nicht übereinstimmen — ein Knick.
Beispiel 2
Warum ist Stetigkeit NICHT ausreichend für Differenzierbarkeit?
Warum reicht Stetigkeit nicht aus?
- Weil eine Funktion an einer Stelle stetig (ohne Sprung) sein kann, aber trotzdem einen Knick haben kann — dort stimmen linksseitige und rechtsseitige Ableitung nicht überein, obwohl die Funktionswerte selbst übereinstimmen
- Stetigkeit und Differenzierbarkeit bedeuten exakt dasselbe
- Differenzierbarkeit ist eine schwächere Bedingung als Stetigkeit
So kommst du darauf: Ein Knick ist mit Stetigkeit vereinbar (keine Sprungstelle im Funktionswert), verhindert aber die Existenz der Ableitung.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum f(x)=|x| an der Stelle x0=0 stetig, aber NICHT differenzierbar ist?"
Weiter üben mit Mathe Octopus
Diese Lektion hat noch mehr Aufgaben, jeder Fehler wird erklärt, und im Übungsmodus gibt es beliebig viele frische Aufgaben zu Ableitung und Differenzierbarkeit. Der Lernplan wiederholt zur richtigen Zeit.
Ohne Karte, ohne Verpflichtung. Danach 7,90 € pro Monat, jederzeit kündbar. Preise ansehen