📌 Das Wichtigste in einem Satz
Modul 2 im Überblick: Die mittlere Änderungsrate m=(f(x2)−f(x1))/(x2−x1) ist die Sekantensteigung (für f(x)=a·x²: m=a·(x1+x2)). Die momentane Änderungsrate f'(x0) ist der Grenzwert davon, wenn x2→x0 (für f(x)=a·x²: f'(x0)=2·a·x0). Die Tangente t(x)=k·x+d hat k=f'(x0) und d=f(x0)−k·x0. Die Ableitungsfunktion f'(x) ersetzt x0 durch x und liefert die Steigung für JEDEN Punkt. Differenzierbarkeit erfordert linksseitige=rechtsseitige Ableitung — Stetigkeit allein reicht nicht (Knickstellen wie bei |x|).
Bei jeder Aufgabe zuerst fragen: geht es um zwei Stellen (Sekante) oder eine Stelle (Tangente/Ableitung)?
Beispiel 1
Für f(x)=x²: bestimme die mittlere Änderungsrate zwischen x1=2 und x2=5
f(x)=x², x1=2, x2=5 — mittlere Änderungsrate
- 7, denn m=x1+x2=2+5=7
- 3, denn m=x2−x1=5−2=3, die Sekantensteigung mit der Differenz der Stellen verwechselt
- 21, denn f(5)−f(2)=25−4=21 berechnet, aber die Division vergessen
So kommst du darauf: m=x1+x2=2+5=7 für f(x)=x².
Beispiel 2
Für f(x)=x²: wie hoch ist die momentane Änderungsrate (Ableitung) an der Stelle x0=4?
f(x)=x², x0=4 — momentane Änderungsrate
- 8, denn f'(x0)=2·x0=2·4=8
- 4, den Faktor 2 vergessen
- 16, denn x0²=16 berechnet, mit f(x0) statt f'(x0) verwechselt
So kommst du darauf: f'(x0)=2·x0=2·4=8.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Welches der fünf Themen aus Modul 2 fällt mir noch am schwersten?"
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