📌 Das Wichtigste in einem Satz
Die POTENZREGEL: für f(x)=x^n gilt f'(x)=n·x^(n−1) — der Exponent wird VOR die Potenz geschrieben (als Faktor), und der neue Exponent ist um 1 kleiner. Die FAKTORREGEL: für f(x)=c·g(x) gilt f'(x)=c·g'(x) — ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten einfach stehen. Kombiniert man beide Regeln, gilt für f(x)=c·x^n: f'(x)=c·n·x^(n−1). Das bestätigt, was du in Modul 2 für f(x)=a·x² (n=2) bereits hergeleitet hast: f'(x)=2·a·x — jetzt gilt dieselbe Idee für JEDEN Exponenten n, ohne die Grenzwertbildung jedes Mal neu durchzuführen.
Merkregel: f(x)=c·x^n ⟹ f'(x)=c·n·x^(n−1). Exponent wird Faktor, neuer Exponent ist n−1.
Beispiel 1
Leite f(x)=3x⁴ ab
f(x)=3x⁴
- f'(x)=12x³, denn f'(x)=3·4·x^(4−1)=12x³
- f'(x)=3x³, den Exponenten als Faktor vergessen
- f'(x)=12x⁴, den Exponenten nicht um 1 reduziert
So kommst du darauf: f'(x)=3·4·x³=12x³ — Exponent 4 wird zum Faktor, neuer Exponent ist 4−1=3.
Beispiel 2
Leite f(x)=5x³ ab
f(x)=5x³
- f'(x)=15x², denn f'(x)=5·3·x^(3−1)=15x²
- f'(x)=5x², den Exponenten als Faktor vergessen
- f'(x)=15x³, den Exponenten nicht um 1 reduziert
So kommst du darauf: f'(x)=5·3·x²=15x².
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum sich der Exponent beim Ableiten um genau 1 verringert?"
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