📌 Das Wichtigste in einem Satz
Die SUMMENREGEL: für f(x)=u(x)+v(x) gilt f'(x)=u'(x)+v'(x) — man leitet JEDEN Summanden EINZELN ab und addiert die Ergebnisse. Für f(x)=a·x²+b·x gilt: der erste Summand a·x² wird mit der Potenzregel zu 2·a·x abgeleitet, der zweite Summand b·x (das ist b·x¹) wird zu b·1·x⁰=b abgeleitet, denn x⁰=1. Insgesamt: f'(x)=2·a·x+b. Eine reine Konstante c (ohne x) hat immer die Ableitung 0 — sie ändert sich nicht, wenn sich x ändert.
Merkregel: f(x)=a·x²+b·x ⟹ f'(x)=2·a·x+b. Die Ableitung von b·x ist einfach b (die Konstante).
Beispiel 1
Leite f(x)=3x²+5x ab
f(x)=3x²+5x
- f'(x)=6x+5, denn (3x²)'=6x und (5x)'=5
- f'(x)=6x, den zweiten Summanden 5x beim Ableiten vergessen
- f'(x)=6x+5x, den zweiten Summanden falsch abgeleitet als 5x statt 5
So kommst du darauf: (3x²)'=2·3·x=6x, (5x)'=5·1·x⁰=5. Summenregel: f'(x)=6x+5.
Beispiel 2
Warum ist die Ableitung von b·x einfach die Konstante b, ohne x?
Warum (b·x)'=b?
- Weil b·x=b·x¹ ist — nach der Potenzregel gilt (b·x¹)'=b·1·x^(1−1)=b·1·x⁰=b·1=b, da x⁰=1 ist
- Die Ableitung von b·x ist willkürlich immer 0
- Die Ableitung von b·x hängt vom konkreten Wert von x ab
So kommst du darauf: x¹ hat den Exponenten 1 — nach der Potenzregel wird daraus 1·x⁰=1·1=1, also bleibt nur b übrig.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum die Ableitung von b·x einfach b ist, ohne x?"
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