📌 Das Wichtigste in einem Satz
Die PRODUKTREGEL: für f(x)=u(x)·v(x) gilt f'(x)=u'(x)·v(x)+u(x)·v'(x) — NICHT einfach u'(x)·v'(x)! Für f(x)=(x+a)(x+b) mit u(x)=x+a, v(x)=x+b gilt u'=1, v'=1. Also: f'(x)=1·(x+b)+(x+a)·1=(x+b)+(x+a)=2x+a+b. Zur Kontrolle: multipliziert man zuerst aus, f(x)=x²+(a+b)x+ab, und leitet dann mit der Summenregel ab, erhält man dasselbe Ergebnis f'(x)=2x+(a+b) — ein guter Weg, die Produktregel zu überprüfen.
Merkregel: (u·v)'=u'·v+u·v' — NIEMALS u'·v'! Zwei Summanden, nicht ein Produkt.
Beispiel 1
Leite f(x)=(x+3)(x+5) mit der Produktregel ab
f(x)=(x+3)(x+5)
- f'(x)=2x+8, denn u'·v+u·v'=1·(x+5)+(x+3)·1=(x+5)+(x+3)=2x+8
- f'(x)=1, denn u'·v'=1·1=1, die Ableitungen einfach multipliziert
- f'(x)=x+5, nur den ersten Term u'·v berechnet, u·v' vergessen
So kommst du darauf: f'(x)=u'·v+u·v'=(x+5)+(x+3)=2x+8 — beide Summanden gehören zur Produktregel.
Beispiel 2
Warum ist (u·v)' NICHT einfach u'·v'?
Warum (u·v)'≠u'·v'?
- Weil sich beim Produkt zweier veränderlicher Funktionen BEIDE Faktoren gleichzeitig ändern — die Produktregel berücksichtigt beide Änderungen einzeln (u ändert sich bei festem v, UND v ändert sich bei festem u), daher die Summe aus zwei Termen
- u'·v' ist mathematisch gleichwertig zu u'·v+u·v', nur eine kürzere Schreibweise
- Die Produktregel gilt nur, wenn u und v beide linear sind
So kommst du darauf: Beide Faktoren tragen zur Änderung des Produkts bei — deshalb braucht man zwei Summanden, nicht ein einfaches Produkt der Ableitungen.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum (u·v)' NICHT einfach u'·v' ist?"
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