📌 Das Wichtigste in einem Satz
Die QUOTIENTENREGEL: für f(x)=u(x)/v(x) gilt f'(x)=(u'(x)·v(x)−u(x)·v'(x))/(v(x))². Anders als bei der Produktregel zählt hier die REIHENFOLGE im Zähler: u'·v MINUS u·v', nicht umgekehrt — und der Nenner wird QUADRIERT. Für f(x)=x/(x+a) mit u=x, v=x+a gilt u'=1, v'=1: f'(x)=(1·(x+a)−x·1)/(x+a)²=((x+a)−x)/(x+a)²=a/(x+a)². Der Zähler vereinfacht sich oft stark, da sich die x-Terme meist wegheben.
Merkregel: (u/v)'=(u'·v−u·v')/v² — Reihenfolge im Zähler beachten, Nenner quadrieren!
Beispiel 1
Leite f(x)=x/(x+3) mit der Quotientenregel ab
f(x)=x/(x+3)
- f'(x)=3/(x+3)², denn (u'·v−u·v')/v²=(1·(x+3)−x·1)/(x+3)²=3/(x+3)²
- f'(x)=0/(x+3)², die Reihenfolge vertauscht: u·v'−u'·v=x−(x+3)=−3, Vorzeichenfehler
- f'(x)=3/(x+3), den Nenner beim Quadrieren vergessen
So kommst du darauf: (1·(x+3)−x·1)/(x+3)²=(x+3−x)/(x+3)²=3/(x+3)².
Beispiel 2
Warum muss man bei der Quotientenregel auf die REIHENFOLGE im Zähler achten (u'·v−u·v', nicht umgekehrt)?
Warum zählt die Reihenfolge?
- Weil Subtraktion NICHT vertauschbar ist — u'·v−u·v' und u·v'−u'·v ergeben im Allgemeinen entgegengesetzte Vorzeichen, also unterschiedliche (und meist falsche) Ergebnisse, wenn man sie vertauscht
- Die Reihenfolge spielt keine Rolle, beide Varianten führen zum selben Ergebnis
- Die Reihenfolge zählt nur, wenn u und v beide negativ sind
So kommst du darauf: Subtraktion ist nicht kommutativ — vertauscht man die Reihenfolge, dreht sich das Vorzeichen des Ergebnisses um.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum die Reihenfolge u'·v−u·v' (und nicht u·v'−u'·v) bei der Quotientenregel wichtig ist?"
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