📌 Das Wichtigste in einem Satz
Die KETTENREGEL: für eine VERKETTETE Funktion h(x)=f(g(x)) gilt h'(x)=f'(g(x))·g'(x) — die „äußere Ableitung" (nach der äußeren Funktion f, ausgewertet an der inneren Funktion g(x)) MAL die „innere Ableitung" (die Ableitung von g(x) selbst). Für h(x)=(a·x+b)² ist die äußere Funktion das Quadrieren (f(u)=u²) und die innere Funktion g(x)=a·x+b. Äußere Ableitung: f'(u)=2u, ausgewertet an g(x): 2·(a·x+b). Innere Ableitung: g'(x)=a. Zusammen: h'(x)=2·(a·x+b)·a=2a·(a·x+b).
Merkregel: h(x)=f(g(x)) ⟹ h'(x)=f'(g(x))·g'(x). Äußere Ableitung MAL innere Ableitung — die innere Ableitung nicht vergessen!
Beispiel 1
Leite h(x)=(2x+3)² mit der Kettenregel ab
h(x)=(2x+3)²
- h'(x)=4·(2x+3)=8x+12, denn äußere Ableitung 2·(2x+3) MAL innere Ableitung 2
- h'(x)=2·(2x+3)=4x+6, die innere Ableitung (den Faktor 2 von g'(x)=2) vergessen
- h'(x)=2, nur die innere Ableitung berechnet, die äußere vergessen
So kommst du darauf: Äußere Ableitung: 2·(2x+3). Innere Ableitung: g'(x)=2. Zusammen: 2·(2x+3)·2=4·(2x+3)=8x+12.
Beispiel 2
Was ist bei h(x)=(a·x+b)² die „äußere" und was die „innere" Funktion?
Äußere und innere Funktion bei (ax+b)²
- Die ÄUSSERE Funktion ist das Quadrieren f(u)=u², die INNERE Funktion ist g(x)=a·x+b — man quadriert das Ergebnis von g(x)
- Die äußere Funktion ist a·x+b, die innere Funktion ist das Quadrieren
- Es gibt bei (ax+b)² keine Unterscheidung zwischen äußerer und innerer Funktion
So kommst du darauf: Man wendet zuerst g(x)=ax+b an, DANN quadriert man das Ergebnis — das Quadrieren ist die äußere, ax+b die innere Funktion.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, was bei (ax+b)² die 'äußere' und was die 'innere' Funktion ist?"
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