📌 Das Wichtigste in einem Satz
Vier neue Grundformeln: (e^x)'=e^x — die e-Funktion ist die EINZIGE Funktion, die beim Ableiten UNVERÄNDERT bleibt. (ln x)'=1/x. (sin x)'=cos x. (cos x)'=−sin x — mit einem MINUSZEICHEN! Kombiniert mit der Faktorregel aus Lektion 1: für f(x)=c·e^x gilt f'(x)=c·e^x, für f(x)=c·sin(x) gilt f'(x)=c·cos(x), für f(x)=c·cos(x) gilt f'(x)=−c·sin(x), für f(x)=c·ln(x) gilt f'(x)=c/x.
Merkregel: (e^x)'=e^x (bleibt gleich!). (ln x)'=1/x. (sin x)'=cos x. (cos x)'=−sin x (Minus nicht vergessen!).
Beispiel 1
Leite f(x)=4e^x ab
f(x)=4e^x
- f'(x)=4e^x, denn (e^x)'=e^x bleibt beim Ableiten unverändert
- f'(x)=4x·e^(x−1), die Potenzregel fälschlich auf e^x angewendet
- f'(x)=0, denn e^x wird fälschlich als Konstante behandelt
So kommst du darauf: Die e-Funktion ist die einzige Funktion, die beim Ableiten unverändert bleibt — der Faktor 4 bleibt einfach stehen (Faktorregel).
Beispiel 2
Leite f(x)=5cos(x) ab
f(x)=5cos(x)
- f'(x)=−5sin(x), denn (cos x)'=−sin x, mit Minuszeichen
- f'(x)=5sin(x), das Minuszeichen vergessen
- f'(x)=5cos(x), die Funktion nicht geändert
So kommst du darauf: (cos x)'=−sin x — das Minuszeichen gehört unbedingt dazu: f'(x)=−5sin(x).
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, bei welcher der vier Grundfunktionen ein Minuszeichen in der Ableitung auftaucht?"
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