📌 Das Wichtigste in einem Satz
Das Vorzeichen der ERSTEN ABLEITUNG f'(x0) verrät, ob eine Funktion an der Stelle x0 steigt oder fällt: ist f'(x0)>0, ist f an dieser Stelle MONOTON STEIGEND (die Tangente hat positive Steigung). Ist f'(x0)<0, ist f MONOTON FALLEND (negative Tangentensteigung). Wichtig: man betrachtet das Vorzeichen von f'(x0), NICHT das Vorzeichen von f(x0) selbst — der Funktionswert sagt nichts über das Steigungsverhalten aus, nur die Ableitung.
Merkregel: f'(x0)>0 ⟹ steigend. f'(x0)<0 ⟹ fallend. Es zählt das Vorzeichen der ABLEITUNG, nicht der Funktion selbst.
Beispiel 1
Für f(x)=x²−4x: ist f an der Stelle x0=5 monoton steigend oder fallend?
f(x)=x²−4x, x0=5
- Steigend, denn f'(x0)=2x0−4=2·5−4=6>0
- Fallend, das Vorzeichen von f'(x0) falsch bestimmt
- Das lässt sich ohne den Graphen nicht bestimmen
So kommst du darauf: f'(x)=2x−4, f'(5)=2·5−4=6>0 — positive Ableitung bedeutet steigend.
Beispiel 2
Für f(x)=x²−4x: ist f an der Stelle x0=1 monoton steigend oder fallend?
f(x)=x²−4x, x0=1
- Fallend, denn f'(x0)=2x0−4=2·1−4=−2<0
- Steigend, das Vorzeichen von f'(x0) falsch bestimmt
- Das lässt sich ohne den Graphen nicht bestimmen
So kommst du darauf: f'(1)=2·1−4=−2<0 — negative Ableitung bedeutet fallend.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum das Vorzeichen von f(x0) nichts über die Monotonie aussagt?"
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