📌 Das Wichtigste in einem Satz
NOTWENDIGE Bedingung für ein lokales Extremum an der Stelle x0: f'(x0)=0 — die Tangente ist an einem Extrempunkt WAAGRECHT. Das ist aber nur NOTWENDIG, nicht HINREICHEND: f'(x0)=0 allein garantiert noch KEIN Extremum (es könnte z.B. ein Sattelpunkt sein). HINREICHEND wird die Bedingung erst, wenn zusätzlich ein VORZEICHENWECHSEL von f' an der Stelle x0 vorliegt: wechselt f' von + zu −, liegt ein lokales MAXIMUM vor; wechselt f' von − zu +, liegt ein lokales MINIMUM vor.
Merkregel: f'(x0)=0 ist notwendig, aber nicht hinreichend. Erst ein Vorzeichenwechsel von f' macht es zu einem echten Extremum.
Beispiel 1
Was ist die NOTWENDIGE Bedingung für ein lokales Extremum an der Stelle x0?
Notwendige Bedingung für ein Extremum
- f'(x0)=0 — die Tangente an dieser Stelle ist waagrecht
- f(x0)=0 — der Funktionswert an dieser Stelle ist 0
- f''(x0)=0 — die zweite Ableitung ist 0
So kommst du darauf: An einem lokalen Extremum ist die Tangente waagrecht, also f'(x0)=0.
Beispiel 2
Warum ist f'(x0)=0 NUR notwendig, aber NICHT hinreichend für ein Extremum?
Warum reicht f'(x0)=0 allein nicht aus?
- Weil es Stellen geben kann, an denen f'(x0)=0 gilt, ohne dass dort ein Extremum vorliegt (z.B. bei einem Sattelpunkt) — man muss zusätzlich prüfen, ob sich das Vorzeichen von f' an dieser Stelle tatsächlich ÄNDERT
- f'(x0)=0 ist sowohl notwendig als auch hinreichend, es reicht immer aus
- f'(x0)=0 hat gar nichts mit Extrema zu tun
So kommst du darauf: Ein Sattelpunkt erfüllt f'(x0)=0, ohne ein Extremum zu sein — daher braucht man die zusätzliche Vorzeichenwechsel-Prüfung.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum f'(x0)=0 allein noch kein Extremum garantiert?"
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