📌 Das Wichtigste in einem Satz
Um lokale Extrema von f(x)=a·x²+b·x zu finden: (1) f'(x)=2a·x+b bilden, (2) f'(x)=0 setzen und nach x auflösen: x0=−b/(2a), (3) die Art bestimmen — bei a>0 öffnet sich die Parabel nach OBEN, also ist x0 ein MINIMUM; bei a<0 öffnet sich die Parabel nach UNTEN, also ist x0 ein MAXIMUM. Das Vorzeichen des Leitkoeffizienten a entscheidet also direkt über die Art des Extremums, ohne dass man den Vorzeichenwechsel von f' separat prüfen muss (bei einer Parabel gibt es ohnehin immer genau einen Vorzeichenwechsel).
Merkregel: x0=−b/(2a). a>0 ⟹ Minimum. a<0 ⟹ Maximum.
Beispiel 1
Für f(x)=x²−6x: bestimme die Extremstelle und ihre Art
f(x)=x²−6x
- x0=3, ein Minimum, denn f'(x)=2x−6=0 ⟹ x=3, und a=1>0 bedeutet Minimum
- x0=3, ein Maximum, die Art des Extremums falsch bestimmt
- x0=−3, ein Minimum, das Vorzeichen von x0 falsch bestimmt
So kommst du darauf: f'(x)=2x−6=0 ⟹ x=3. Da a=1>0, öffnet sich die Parabel nach oben — ein Minimum.
Beispiel 2
Warum bedeutet a>0 bei f(x)=a·x²+b·x, dass die Extremstelle ein MINIMUM ist?
Warum a>0 ⟹ Minimum?
- Weil bei a>0 die Parabel nach OBEN geöffnet ist — die Funktion fällt zuerst, erreicht dann den tiefsten Punkt, und steigt danach wieder, also liegt dort ein Tiefpunkt (Minimum) vor
- a>0 hat keinen Einfluss auf die Art des Extremums
- a>0 bedeutet immer ein Maximum, nie ein Minimum
So kommst du darauf: Eine nach oben geöffnete Parabel hat ihren tiefsten Punkt bei der Extremstelle — ein Minimum.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum das Vorzeichen von a direkt verrät, ob ein Minimum oder Maximum vorliegt?"
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