📌 Das Wichtigste in einem Satz
Auf einem ABGESCHLOSSENEN Intervall [p,q] kann das globale Maximum oder Minimum NICHT NUR an der kritischen Stelle liegen — es kann auch an einem der beiden RANDPUNKTE liegen! Vorgehen: (1) kritische Stelle x0 finden, (2) f an x0 UND an beiden Rändern p und q berechnen, (3) die drei Werte vergleichen — der größte ist das globale Maximum, der kleinste das globale Minimum. Bei einer nach oben geöffneten Parabel (a>0) ist die kritische Stelle immer das Minimum, aber das Maximum liegt immer an einem der beiden Ränder — und zwar an dem Rand, der WEITER von der kritischen Stelle entfernt liegt.
Randpunkte nicht vergessen! Bei a>0: Maximum liegt am weiter entfernten Rand.
Beispiel 1
Für f(x)=x²−6x auf dem Intervall [1, 8], kritische Stelle x0=3: was ist das globale Maximum?
f(x)=x²−6x, [1,8], x0=3
- f(8)=16, am rechten Rand, denn dieser Randpunkt liegt weiter von x0=3 entfernt (Abstand 5) als der linke (Abstand 2)
- f(1)=−5, am linken Rand — das ist aber der NÄHERE Randpunkt zu x0, nicht der weiter entfernte
- f(3)=−9, an der kritischen Stelle — das ist aber das globale MINIMUM, nicht das Maximum
So kommst du darauf: Abstand zu x0: links |1−3|=2, rechts |8−3|=5. Der rechte Rand ist weiter entfernt, also liegt dort das Maximum: f(8)=16.
Beispiel 2
Warum kann das globale Maximum NICHT an der kritischen Stelle x0 liegen, wenn a>0 ist?
Warum Maximum nicht bei x0, wenn a>0?
- Weil bei a>0 die Parabel nach OBEN geöffnet ist — x0 ist dort immer der TIEFSTE Punkt (Minimum), das Maximum muss also an einem der Ränder liegen
- Die kritische Stelle ist immer sowohl Minimum als auch Maximum zugleich
- Bei a>0 gibt es überhaupt kein globales Maximum auf einem Intervall
So kommst du darauf: Eine nach oben geöffnete Parabel hat ihren tiefsten Punkt bei x0 — das Maximum auf einem abgeschlossenen Intervall muss an einem Rand liegen.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum ich bei einem Intervall auch die Randpunkte prüfen muss, nicht nur die kritische Stelle?"
Weiter üben mit Mathe Octopus
Diese Lektion hat noch mehr Aufgaben, jeder Fehler wird erklärt, und im Übungsmodus gibt es beliebig viele frische Aufgaben zu Globale Extrema auf einem Intervall. Der Lernplan wiederholt zur richtigen Zeit.
Ohne Karte, ohne Verpflichtung. Danach 7,90 € pro Monat, jederzeit kündbar. Preise ansehen