📌 Das Wichtigste in einem Satz
In Sachsituationen ist eine Funktion wie G(x)=−x²+bx (Gewinn) oder h(t)=−t²+bt (Höhe) bereits gegeben — deine Aufgabe: (1) die Ableitung bilden und null setzen, um die kritische Stelle x0 zu finden, (2) den Funktionswert AN dieser Stelle berechnen (nicht nur x0 selbst angeben!), (3) beides im Sachkontext deuten — z.B. "bei einer Menge von x0 Einheiten ist der Gewinn maximal, und zwar G(x0) Euro". Ein häufiger Fehler: nur x0 zu berechnen und zu vergessen, dass die Frage meist auch nach dem MAXIMALEN WERT selbst fragt (z.B. wie hoch der Gewinn tatsächlich ist).
x0 UND den Funktionswert an dieser Stelle berechnen — beide gehören zur vollständigen Antwort.
Beispiel 1
Ein Unternehmen hat die Gewinnfunktion G(x)=−x²+6x (in Tausend Euro, x in Tausend Stück). Bei welcher Menge ist der Gewinn maximal, und wie hoch ist er?
G(x)=−x²+6x
- x=3, maximaler Gewinn G(3)=9 (Tausend Euro), denn G'(x)=−2x+6=0 ⟹ x=3, und G(3)=−9+18=9
- x=−3, Gewinn=−27, das Vorzeichen von x0 falsch bestimmt
- x=3, aber der Gewinn wäre 6 (die kritische Stelle richtig gefunden, aber falsch in die Funktion eingesetzt — nur der Koeffizient b, nicht der tatsächliche Funktionswert)
So kommst du darauf: G'(x)=−2x+6=0 ⟹ x=3. G(3)=−3²+6·3=−9+18=9. Beide Teile gehören zur Antwort: WO und WIE HOCH.
Beispiel 2
Warum reicht es bei Anwendungsaufgaben oft nicht, nur x0 zu berechnen?
Warum reicht x0 allein nicht?
- Weil die Frage meist auch nach dem maximalen WERT fragt (z.B. wie hoch der Gewinn ist) — dafür muss man den Funktionswert an der Stelle x0 berechnen, nicht nur x0 selbst
- x0 allein reicht immer aus, der Funktionswert ist unwichtig
- Man braucht x0 gar nicht, nur den Funktionswert
So kommst du darauf: Beide Größen werden meist gefragt: WO liegt das Extremum (x0) und WIE GROSS ist der Funktionswert dort.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum es nicht reicht, nur x0 zu berechnen, sondern auch der Funktionswert an dieser Stelle wichtig ist?"
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