📌 Das Wichtigste in einem Satz
Modul 4 im Überblick: Monotonie über f'(x0)>0 (steigend) oder f'(x0)<0 (fallend). Extrembedingung: f'(x0)=0 UND Vorzeichenwechsel von f' (+ zu − ⟹ Maximum, − zu + ⟹ Minimum; kein Wechsel ⟹ Sattelpunkt, kein Extremum). Bei f(x)=a·x²+b·x: x0=−b/(2a), a>0 ⟹ Minimum, a<0 ⟹ Maximum. Auf einem abgeschlossenen Intervall müssen zusätzlich beide Randpunkte geprüft werden — das globale Extremum kann an x0 ODER an einem Rand liegen. In Anwendungssituationen: x0 finden UND den Funktionswert an dieser Stelle berechnen.
x0 finden → Art bestimmen (Vorzeichen von a) → bei Intervallen auch die Ränder prüfen.
Beispiel 1
Für f(x)=x²−4x: ist f an der Stelle x0=1 monoton steigend oder fallend?
f(x)=x²−4x, x0=1
- Fallend, denn f'(x0)=2x0−4=2·1−4=−2<0
- Steigend, das Vorzeichen von f'(x0) falsch bestimmt
- Das lässt sich ohne den Graphen nicht bestimmen
So kommst du darauf: f'(1)=2−4=−2<0, also fallend.
Beispiel 2
An der Stelle x0 wechselt f' von NEGATIV zu POSITIV. Welche Art von Extremum liegt vor?
f' wechselt von − zu + — welches Extremum?
- Ein lokales MINIMUM, denn die Funktion fällt zuerst (f'<0) und steigt danach (f'>0) — ein Tiefpunkt
- Ein lokales MAXIMUM, denn ein Vorzeichenwechsel bedeutet immer ein Maximum
- Ein Sattelpunkt, da es keinen Vorzeichenwechsel geben darf
So kommst du darauf: − zu + bedeutet: fällt zuerst, steigt danach — ein Tiefpunkt (Minimum).
🗣️ Prüfe dich selbst
„Welches der fünf Themen aus Modul 4 fällt mir noch am schwersten?"
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