📌 Das Wichtigste in einem Satz
Die zweite Ableitung f''(x) ist einfach die Ableitung von f'(x) — man leitet ZWEIMAL nacheinander ab, nicht auf einmal. Für f(x)=a·x³+b·x²: erst f'(x)=3a·x²+2b·x bilden, dann f'(x) noch einmal ableiten: f''(x)=6a·x+2b. Ein häufiger Fehler bei der zweiten Ableitung: beim erneuten Anwenden der Potenzregel den Exponenten wieder als Faktor VERGESSEN — aus 3a·x² wird beim Ableiten 6a·x (der Exponent 2 wird zum Faktor, dann um 1 reduziert), nicht einfach 3a·x.
f'' = Ableitung von f'. Bei jedem Schritt die Potenzregel neu anwenden — Exponent als Faktor, dann reduzieren.
Beispiel 1
Für f(x)=x³+4x²: bestimme f''(x)
f(x)=x³+4x²
- f''(x)=6x+8, denn f'(x)=3x²+8x, und davon die Ableitung ist f''(x)=6x+8
- f'(x)=3x²+8x, nur einmal statt zweimal abgeleitet
- f''(x)=3x+8, beim zweiten Ableiten den Exponenten nicht als Faktor übernommen
So kommst du darauf: f'(x)=3x²+8x. Davon die Ableitung: f''(x)=3·2·x+8=6x+8.
Beispiel 2
Warum reicht es nicht, f(x) nur EINMAL abzuleiten, um f''(x) zu erhalten?
Warum zweimal ableiten?
- Weil f''(x) per Definition die Ableitung von f'(x) ist — man muss also erst f'(x) bilden und DANN dieses Ergebnis noch einmal ableiten, zwei getrennte Schritte
- f''(x) und f'(x) sind eigentlich dasselbe, nur anders benannt
- Man leitet f(x) einmal ab und multipliziert das Ergebnis einfach mit 2
So kommst du darauf: f''(x) ist die Ableitung von f'(x) — zwei getrennte Ableitungsschritte, kein Abkürzungstrick.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum die zweite Ableitung zwei getrennte Ableitungsschritte braucht, keinen einzigen großen Schritt?"
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