📌 Das Wichtigste in einem Satz
So wie das Vorzeichen von f'(x0) die Monotonie verrät (steigend/fallend), verrät das Vorzeichen von f''(x0) die Krümmung: f''(x0)>0 bedeutet KONVEX (linksgekrümmt, wie eine nach oben geöffnete Schale ∪) — die Steigung selbst nimmt zu. f''(x0)<0 bedeutet KONKAV (rechtsgekrümmt, wie ein nach unten geöffneter Bogen ∩) — die Steigung selbst nimmt ab. Wichtig: es geht NICHT darum, ob f steigt oder fällt, sondern ob die STEIGUNG zu- oder abnimmt — das ist eine andere Frage als die aus Modul 4.
f''(x0)>0 ⟹ konvex (∪). f''(x0)<0 ⟹ konkav (∩).
Beispiel 1
Für f(x)=x³+4x²: ist f an der Stelle x0=1 konvex oder konkav?
f(x)=x³+4x², x0=1
- Konvex, denn f''(x0)=6x0+8=6·1+8=14>0
- Konkav, das Vorzeichen von f''(x0) falsch bestimmt
- Das lässt sich ohne den Graphen nicht bestimmen
So kommst du darauf: f''(x)=6x+8. f''(1)=6+8=14>0, also konvex.
Beispiel 2
Warum ist die Frage "konvex oder konkav" eine ANDERE Frage als "steigend oder fallend"?
Warum ist Krümmung etwas anderes als Monotonie?
- Monotonie fragt, ob f selbst steigt oder fällt (Vorzeichen von f'); Krümmung fragt, ob die STEIGUNG zu- oder abnimmt (Vorzeichen von f'') — zwei unabhängige Eigenschaften
- Konvex und steigend bedeuten immer dasselbe
- Krümmung hängt nur von f(x) ab, nicht von einer Ableitung
So kommst du darauf: Monotonie und Krümmung sind unabhängige Eigenschaften — eine Funktion kann z.B. steigend UND konkav zugleich sein.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum sich Krümmung von Monotonie unterscheidet — beide werden über eine Ableitung bestimmt, aber über eine ANDERE?"
Weiter üben mit Mathe Octopus
Diese Lektion hat noch mehr Aufgaben, jeder Fehler wird erklärt, und im Übungsmodus gibt es beliebig viele frische Aufgaben zu Krümmungsverhalten (konvex/konkav). Der Lernplan wiederholt zur richtigen Zeit.
Ohne Karte, ohne Verpflichtung. Danach 7,90 € pro Monat, jederzeit kündbar. Preise ansehen