📌 Das Wichtigste in einem Satz
Ein Wendepunkt ist eine Stelle, an der die Krümmung wechselt — von konvex zu konkav oder umgekehrt. Um ihn zu finden: f''(x)=0 lösen, das ergibt die Kandidatenstelle x0. Für f(x)=a·x³+b·x² ist f''(x)=6a·x+2b eine LINEARE Funktion — und eine lineare Funktion (mit a≠0, also Steigung≠0) wechselt an ihrer einzigen Nullstelle GARANTIERT das Vorzeichen. Deshalb ist bei dieser Funktionsart jede Lösung von f''(x)=0 automatisch ein echter Wendepunkt, ohne dass man den Vorzeichenwechsel separat nachprüfen muss.
f''(x)=0 lösen ⟹ x0. Bei f''(x) linear ist der Vorzeichenwechsel dort garantiert.
Beispiel 1
Für f(x)=x³−9x²: bestimme den Wendepunkt
f(x)=x³−9x²
- x0=3, ein Wendepunkt, denn f''(x)=6x−18=0 ⟹ x=3, und da f'' linear ist, wechselt sie dort garantiert das Vorzeichen
- x0=−3, ein Wendepunkt, das Vorzeichen von x0 falsch bestimmt
- x0=3, aber kein Wendepunkt, da man den Vorzeichenwechsel erst noch separat prüfen müsste
So kommst du darauf: f''(x)=6x−18=0 ⟹ x=3. Da f'' hier linear ist, wechselt sie an ihrer einzigen Nullstelle garantiert das Vorzeichen.
Beispiel 2
Warum ist bei f(x)=a·x³+b·x² jede Lösung von f''(x)=0 automatisch ein ECHTER Wendepunkt?
Warum ist der Vorzeichenwechsel hier garantiert?
- Weil f''(x)=6a·x+2b eine lineare Funktion mit Steigung 6a≠0 ist — eine solche Gerade wechselt an ihrer einzigen Nullstelle immer das Vorzeichen, von negativ zu positiv oder umgekehrt
- Weil f''(x)=0 allein immer für einen Wendepunkt genügt, bei jeder beliebigen Funktion
- Weil f' an dieser Stelle ebenfalls null sein muss
So kommst du darauf: f''(x) ist hier linear mit Steigung 6a≠0 — eine solche Gerade wechselt an ihrer Nullstelle garantiert das Vorzeichen.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum bei f(x)=a·x³+b·x² jede Lösung von f''(x)=0 automatisch ein echter Wendepunkt ist?"
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