📌 Das Wichtigste in einem Satz
Ein Sattelpunkt (auch Terrassenpunkt genannt) ist ein Punkt, an dem ZWEI Bedingungen GLEICHZEITIG erfüllt sind: f'(x0)=0 UND f''(x0)=0. Das Besondere: an dieser Stelle ist x0 ein kritischer Punkt (f'(x0)=0), aber KEIN Extremum, weil f' dort das Vorzeichen NICHT wechselt (aus Modul 4 bekannt). Gleichzeitig ist x0 aber ein echter Wendepunkt, weil f'' dort das Vorzeichen WOHL wechselt. Das klassische Beispiel: f(x)=a·x³ bei x0=0 — f'(x)=3a·x² ist bei x=0 eine doppelte Nullstelle (immer ≥0 oder immer ≤0, kein Vorzeichenwechsel), aber f''(x)=6a·x wechselt dort das Vorzeichen.
Sattelpunkt = f'(x0)=0 (kein Vorzeichenwechsel) UND f''(x0)=0 (mit Vorzeichenwechsel), gleichzeitig.
Beispiel 1
Was macht eine Stelle x0 zu einem Sattelpunkt (Terrassenpunkt)?
Definition: Sattelpunkt
- f'(x0)=0 UND f''(x0)=0 gleichzeitig — ein kritischer Punkt, der zugleich ein Wendepunkt ist, aber KEIN Extremum, da f' dort das Vorzeichen nicht wechselt
- Nur f'(x0)=0 allein genügt schon für einen Sattelpunkt
- Nur f''(x0)=0 allein genügt schon für einen Sattelpunkt, unabhängig von f'
So kommst du darauf: Ein Sattelpunkt braucht BEIDE Bedingungen gleichzeitig: f'(x0)=0 (ohne Vorzeichenwechsel) UND f''(x0)=0 (mit Vorzeichenwechsel).
Beispiel 2
Für f(x)=x³: zeige, dass x0=0 ein Sattelpunkt ist
f(x)=x³, x0=0
- x0=0 ist ein Sattelpunkt, denn f'(x)=3x² hat bei x=0 eine doppelte Nullstelle (kein Vorzeichenwechsel, also kein Extremum), UND f''(x)=6x wechselt bei x=0 das Vorzeichen (also ein echter Wendepunkt)
- x0=0 ist ein Extremum, da f'(0)=0 gilt
- x0=0 ist gar kein besonderer Punkt, da f''(0)=0 nur ein Zufall ist
So kommst du darauf: f'(x)=3x²≥0 überall — kein Vorzeichenwechsel, also kein Extremum. f''(x)=6x wechselt bei x=0 das Vorzeichen — ein echter Wendepunkt. Beides zusammen: Sattelpunkt.
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„Weiß ich noch, warum ein Sattelpunkt sowohl die Extrembedingung als auch die Wendepunkt-Bedingung berührt, aber keine davon vollständig erfüllt?"
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