📌 Das Wichtigste in einem Satz
In Modul 4 hast du Extrema über den Vorzeichenwechsel von f' bestimmt — das funktioniert immer, braucht aber eine Vorzeichentabelle. Es geht oft SCHNELLER: die zweite Ableitung ist die "hinreichende Bedingung mit f''". Für f(x)=a·x²+b·x mit kritischer Stelle x0 (f'(x0)=0) gilt f''(x)=2a — eine KONSTANTE. Ist f''(x0)>0 (also a>0), liegt automatisch ein Minimum vor. Ist f''(x0)<0 (also a<0), liegt automatisch ein Maximum vor. Das ist derselbe Zusammenhang wie "a>0 ⟹ Minimum" aus Modul 4 — nur jetzt über f'' statt über a direkt begründet, und diese Begründung funktioniert auch bei komplizierteren Funktionen, bei denen a nicht mehr so einfach abzulesen ist.
f'(x0)=0 UND f''(x0)>0 ⟹ Minimum. f'(x0)=0 UND f''(x0)<0 ⟹ Maximum. Kein Vorzeichenwechsel-Test nötig, wenn f''(x0)≠0.
Beispiel 1
Für f(x)=x²−6x: die kritische Stelle ist x0=3. Bestimme die Art des Extremums über f''
f(x)=x²−6x, x0=3
- Ein Minimum, denn f''(x)=2 ist konstant und f''(3)=2>0, also liegt (mit f'(3)=0) ein Minimum vor
- Ein Maximum, die Art über f'' falsch bestimmt
- Das lässt sich mit f'' allein nicht entscheiden, man müsste eine Vorzeichentabelle für f' erstellen
So kommst du darauf: f''(x)=2 (konstant, da f(x)=x²−6x, also a=1). f''(3)=2>0 ⟹ Minimum.
Beispiel 2
Warum reicht bei f(x)=a·x²+b·x der Wert von f''(x0) allein, um die Art des Extremums zu bestimmen — ohne Vorzeichentabelle für f'?
Warum genügt f''(x0) allein?
- Weil f''(x)=2a bei dieser Funktion eine KONSTANTE ist — sie hat überall dasselbe Vorzeichen, es gibt also gar keinen Vorzeichenwechsel zu prüfen, das Vorzeichen bei x0 verrät schon alles
- f''(x0) genügt bei JEDER beliebigen Funktion, unabhängig von deren Form
- f''(x0) und f'(x0) sagen bei dieser Funktion immer dasselbe aus
So kommst du darauf: f''(x)=2a ist konstant (unabhängig von x) — ihr Vorzeichen bei x0 gilt automatisch überall.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum der Test mit f'' oft schneller ist als die Vorzeichentabelle aus Modul 4, aber dasselbe Ergebnis liefert?"
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