📌 Das Wichtigste in einem Satz
Modul 5 im Überblick: f''(x) ist die Ableitung von f'(x) — zweimal ableiten, bei jedem Schritt die Potenzregel neu. f''(x0)>0 ⟹ konvex (∪), f''(x0)<0 ⟹ konkav (∩). Ein Wendepunkt liegt bei f''(x0)=0 vor, wenn f'' dort das Vorzeichen wechselt (bei linearer f'' automatisch garantiert). Ein Sattelpunkt liegt vor, wenn f'(x0)=0 OHNE Vorzeichenwechsel UND f''(x0)=0 MIT Vorzeichenwechsel gleichzeitig gelten — kritischer Punkt und Wendepunkt an derselben Stelle. Und: bei f(x)=a·x²+b·x ist f''(x)=2a konstant — ihr Vorzeichen bei der kritischen Stelle entscheidet direkt über Minimum oder Maximum, ohne Vorzeichentabelle.
f'' berechnen → Vorzeichen prüfen → konvex/konkav, Wendepunkt, oder (mit f'=0) Extremum-Art.
Beispiel 1
Für f(x)=x³+4x²: bestimme f''(x)
f(x)=x³+4x²
- f''(x)=6x+8, denn f'(x)=3x²+8x, und davon die Ableitung ist f''(x)=6x+8
- f'(x)=3x²+8x, nur einmal statt zweimal abgeleitet
- f''(x)=3x+8, beim zweiten Ableiten den Exponenten nicht als Faktor übernommen
So kommst du darauf: f'(x)=3x²+8x. f''(x)=6x+8.
Beispiel 2
Für f(x)=x³+4x²: ist f an der Stelle x0=1 konvex oder konkav?
f(x)=x³+4x², x0=1
- Konvex, denn f''(x0)=6x0+8=6·1+8=14>0
- Konkav, das Vorzeichen von f''(x0) falsch bestimmt
- Das lässt sich ohne den Graphen nicht bestimmen
So kommst du darauf: f''(1)=6+8=14>0, also konvex.
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