📌 Das Wichtigste in einem Satz
Eine vollständige Kurvendiskussion beginnt mit drei Schritten: (1) Definitionsbereich — bei Polynomfunktionen (wie all unseren a·x³+b·x²-Funktionen) immer ganz ℝ, keine Ausnahmen nötig. (2) Nullstellen — x ausklammern, dann den Rest lösen. (3) Symmetrie — prüfe f(−x): stimmt es mit f(x) überein, ist die Funktion GERADE (achsensymmetrisch zur y-Achse) — das passiert, wenn NUR gerade Exponenten vorkommen. Stimmt f(−x) mit −f(x) überein, ist die Funktion UNGERADE (punktsymmetrisch zum Ursprung) — das passiert, wenn NUR ungerade Exponenten vorkommen. Stimmt keins von beidem, ist die Funktion WEDER gerade NOCH ungerade — das passiert, wenn gemischte Exponenten vorkommen (wie bei a·x³+b·x²).
Nur gerade Exponenten ⟹ gerade (achsensymmetrisch). Nur ungerade Exponenten ⟹ ungerade (punktsymmetrisch). Gemischt ⟹ weder noch.
Beispiel 1
Für f(x)=2x³+3x: bestimme die Symmetrie
f(x)=2x³+3x
- Ungerade (punktsymmetrisch zum Ursprung), denn f(−x)=2(−x)³+3(−x)=−2x³−3x=−f(x)
- Gerade (achsensymmetrisch zur y-Achse), denn f(−x)=f(x)
- Weder gerade noch ungerade
So kommst du darauf: f(−x)=−2x³−3x=−(2x³+3x)=−f(x) — nur ungerade Exponenten (1 und 3) kommen vor, also ungerade.
Beispiel 2
Für f(x)=2x²+5: bestimme die Symmetrie
f(x)=2x²+5
- Gerade (achsensymmetrisch zur y-Achse), denn f(−x)=2(−x)²+5=2x²+5=f(x)
- Ungerade (punktsymmetrisch zum Ursprung), denn f(−x)=−f(x)
- Weder gerade noch ungerade
So kommst du darauf: f(−x)=2x²+5=f(x) — nur der gerade Exponent 2 (und die Konstante, Exponent 0, auch gerade) kommen vor, also gerade.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum eine Funktion mit gemischten Exponenten (wie x³+x²) weder gerade noch ungerade sein kann?"
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