📌 Das Wichtigste in einem Satz
Ab jetzt arbeiten wir mit der VOLLEN Kubik f(x)=a·x³+b·x²+c·x — mit DREI Termen statt zwei. Wichtig: der Term c·x wird beim Ableiten zu c (nicht zu 0!) — das ist ein häufig übersehener Schritt, weil c wie eine Konstante aussieht, aber eigentlich ein Koeffizient von x¹ ist. f'(x)=3a·x²+2b·x+c. Und bei der zweiten Ableitung verschwindet dieses c dann wirklich — die Ableitung einer echten Konstante ist 0. f''(x)=6a·x+2b.
f(x)=ax³+bx²+cx ⟹ f'(x)=3ax²+2bx+c ⟹ f''(x)=6ax+2b. Das c bleibt bei f', verschwindet erst bei f''.
Beispiel 1
Für f(x)=x³+3x²+5x: bestimme f'(x) und f''(x)
f(x)=x³+3x²+5x
- f'(x)=3x²+6x+5 und f''(x)=6x+6, denn jeder Term wird mit der Potenzregel abgeleitet, und die Ableitung von 5x ist 5
- f'(x)=3x²+6x, das konstante 5 beim Ableiten von 5x vergessen — die Ableitung von 5x ist 5, nicht 0
- f'(x)=3x²+6x+5 ist richtig, aber f''(x)=6x+6+5, den Term 5 bei der zweiten Ableitung fälschlich erneut mitgeführt
So kommst du darauf: f'(x)=3x²+6x+5. f''(x)=6x+6 — das konstante 5 verschwindet erst bei der zweiten Ableitung.
Beispiel 2
Warum wird der Term c·x beim ersten Ableiten zu c, und nicht zu 0?
Warum wird cx zu c?
- Weil c·x den Exponenten 1 hat — die Potenzregel liefert c·1·x⁰=c·1=c. Erst eine ECHTE Konstante (ohne x) hat die Ableitung 0
- c·x wird immer zu 0, weil c eine Konstante ist
- c·x bleibt beim Ableiten unverändert, also c·x
So kommst du darauf: c·x hat Exponent 1 — die Potenzregel gibt c·1·x⁰=c.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum der Koeffizient c bei f' noch da ist, aber bei f'' verschwindet?"
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