📌 Das Wichtigste in einem Satz
Bei einer vollen Kubik f(x)=a·x³+b·x²+c·x ist f'(x)=3a·x²+2b·x+c eine QUADRATISCHE Gleichung — sie hat oft ZWEI Lösungen, also ZWEI kritische Stellen. Jede muss EINZELN klassifiziert werden: f''(x) an jeder Stelle separat einsetzen. Wichtig: bei einer Kubik ist f''(x)=6a·x+2b nicht mehr konstant (anders als bei der reinen Parabel aus Modul 4/5) — das Vorzeichen von f''(x0) kann an den beiden kritischen Stellen unterschiedlich sein! Deshalb reicht es NICHT, das Vorzeichen von a allein zu betrachten — man muss wirklich für JEDE Stelle einzeln f''(x0) berechnen.
Kubik hat oft ZWEI kritische Stellen. Jede einzeln mit f'' klassifizieren — nicht pauschal über das Vorzeichen von a.
Beispiel 1
Für f(x)=x³−6x²+9x mit kritischen Stellen x=1 und x=3: klassifiziere die Stelle x=1 mittels f''
f(x)=x³−6x²+9x, kritische Stelle x=1
- Ein Maximum, denn f''(x)=6x−12, f''(1)=6·1−12=−6<0, also liegt bei x=1 ein Maximum vor
- Ein Minimum, denn f''(1)=−6<0, also Minimum
- Ein Maximum, aber fälschlich bei x=3 statt bei x=1 ausgewertet (f''(3)=6)
So kommst du darauf: f''(x)=6x−12. f''(1)=6−12=−6<0 ⟹ Maximum.
Beispiel 2
Warum reicht es bei einer Kubik NICHT, das Vorzeichen von f''(x0) an nur EINER kritischen Stelle zu prüfen, um beide zu klassifizieren?
Warum beide Stellen einzeln prüfen?
- Weil f''(x)=6a·x+2b bei einer Kubik NICHT konstant ist — ihr Vorzeichen kann sich zwischen den beiden kritischen Stellen ändern, jede muss also einzeln eingesetzt werden
- Weil beide kritischen Stellen immer denselben Typ (beide Minima oder beide Maxima) haben
- Weil es bei einer Kubik gar keine zwei kritischen Stellen geben kann
So kommst du darauf: f''(x) ist bei einer Kubik linear (nicht konstant) — ihr Vorzeichen kann an den beiden Stellen unterschiedlich sein.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum ich bei einer Kubik jede kritische Stelle EINZELN mit f'' prüfen muss, statt mich pauschal auf das Vorzeichen von a zu verlassen?"
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